20. Обратные функции.
Для исследования дальнейших элементных функций введем новое понятие, а именно, понятие об обратной функции. Как мы уже упоминали в 
при исследовании функциональной зависимости между переменными х и у, вопрос о выборе независимой переменной находится в нашем распоряжении и решается исключительно соображениями удобства. Пусть имеется некоторая функция 
причем х играет роль независимой переменной.
Функция, которая определяется из той же функциональной зависимости y=f(x), если в ней рассматривать у как независимую переменную, а х как функцию
называется обратной по отношению к данной функции 
а эта последняя функция часто называется прямой.
Обозначения для переменных не играют существенной роли и, обозначая в обоих случаях независимую переменную буквою 
мы можем сказать, что 
будет обратной функцией для функции 
. Так, например, если прямые функции суть
то обратные будут
Нахождение обратной функции по уравнению прямой функции называется ее обращением.
Пусть мы имеем график прямой функции 
Нетрудно видеть, что этот же график может служить и графиком обратной функции 
Действительно, оба уравнения 
дают одну и ту же функциональную зависимость между х и у. В прямой функции произвольно задается 
Откладывая по оси ОХ от начала О отрезок, соответствующий числу 
и восставляя из конца этого отрезка перпендикуляр к оси ОХ до пересечения с графиком, мы получаем, взяв длину этого перпендикуляра с соответствующим знаком, значение у, отвечающее взятому значению 
Для обратной функции 
мы должны только откладывать заданное значение у по оси 
от начала О и восставлять из конца этого отрезка перпендикуляр к оси 
до пересечения с графиком. Длина этого перпендикуляра с соответствующим знаком дает нам значение 
отвечающее взятому значению у.
При этом возникает неудобство, что в первом случае независимая переменная 
откладывается по одной оси, а именно оси ОХ, а во втором случае независимая переменная у откладывается по другой оси, а именно по оси 
. Иначе говоря, при переходе от прямой функции 
к обратной 
мы можем оставить тот же график, но должны помнить, что при этом переходе ось для изображения значений независимой переменной становится осью значений функции, и наоборот.
Чтобы избежать этого неудобства, мы должны при упомянутом переходе повернуть плоскость как целое таким образом, чтобы оси ОХ и 
поменялись местами. Для этого, очевидно, достаточно повернуть плоскость чертежа вместе с графиком на 180° вокруг биссектрисы первого координатного угла. При этом повороте оси поменяются местами, и обратную функцию 
надо уже писать в обычном виде: 
Итак, если прямая функция 
задана графически, то для получения графика обратной функции 
достаточно повернуть плоскость графика на 180° вокруг биссектрисы первого координатного угла.
Рис. 25.
На рис. 25 график прямой функции изображен сплошной линией, а график обратной функции — пунктиром. Пунктиром же изображена биссектриса первого координатного угла, вокруг которой надо повернуть всю плоскость чертежа для получения пунктирной кривой из сплошной кривой.
