762. Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной.

Рассмотрим упорядоченную переменную х, значения которой снабжены «пометками» Р из При любом Р составим множество

из тех значений х, которые следуют за т. е. отвечают «пометкам» , и найдем его точные границы

(которые могут оказаться и бесконечными). Каждая из них является упорядоченной переменной с пометками Р и притом первая — монотонно убывающей, а вторая — монотонно возрастающей (в смысле п° 758). В таком случае, по теореме о монотонной переменной, существуют определенные (конечные или нет) пределы

Их, в общем случае, и называют, соответственно, наибольшим или наименьшим пределом переменной х и пишут

Равенство этих пределов есть условие, необходимое и достаточное для существования предела переменной х в обычном смысле [755].

Действительно, если существует конечный предел

то для любого найдется такая «пометка» что

Тогда и

так что, ввиду произвольности

Обратно, если имеет место это равенство (при а конечном), то, ввиду (6), снова по найдется такое что

так что выполняется (8), а отсюда следует (7).

Предоставляем читателю провести рассуждения для случая

Числа М и в случае их конечности, могут быть охарактеризованы их свойствами, которые вполне аналогичны свойствам 1 и II, изученным в 42. Для примера остановимся на М.

Если взять по произволу число и «пометку» , то существует такое что

Отсюда, по определению точной верхней границы, следует

I свойство числа М: для всех будет

II свойство числа М: найдется хоть одно значение (где такое, что

Пусть теперь множество допускает конфинальные подпоследовательности (4), которым отвечают конфинальные для подпоследовательности (5) значений нашей переменной. Если какая-либо из таких последовательностей имеет предел, то его называют частичным пределом переменной и 69].

В этом случае можно доказать, что наибольший и наименьший пределы М и определенные выше, являются в то же время, соответственно, наибольшим и наименьшим из всех частичных пределов переменной х [как и в 40 или 59].

Действительно (если снова ограничиться наибольшим пределом в предположении его конечности), из свойства I сразу ясно, что ни один частичный предел не может превзойти М. Для того чтобы построить конфинальную для подпоследовательность (5), стремящуюся к М (и тем показать, что М само служит частичным пределом), мы исходим наперед из некоторой подпоследовательности

конфинальной для А затем, с помощью свойств I и II [ср. 40], индуктивно строим подпоследовательность (4) так, чтобы, во-первых, было

(так что и (4) будет конфинальной для и, во-вторых, чтобы удовлетворяло двойному неравенству

где — произвольно взятая положительная варианта, стремящаяся к 0. Очевидно, последовательность (5), конфинальная для будет иметь своим пределом М.

Можно указать еще один пример наибольшего и наименьшего пределов из уже знакомой читателю области. Так, очевидно, верхний и нижний интегралы Дарбу I и 1% [296, 301] являются, соответственно, наибольшим и наименьшим пределами для интегральной суммы (суммы Римана) при —