732. Почленное дифференцирование ряда Фурье.
Пусть в промежутке 
задана непрерывная функция 
удовлетворяющая условию 
и имеющая (исключая разве лишь отдельные точки в конечном числе) производную 
пусть, далее, эта производная сама оказывается абсолютно интегрируемой в названном промежутке. Тогда
[310, 481] и, как мы только что видели, ряд Фурье (1) функции 
получается из ряда Фурье функции 
почленным интегрированием, так как при наложенных на 
условиях свободного члена в последнем разложении не будет:
В таком случае, очевидно, и обратно — ряд (7) для производной 
может быть получен из ряда (1), отвечающего данной функции 
почленным дифференцированием.
Мы обращаем особое внимание читателя на ту роль, которую здесь играет предположение о периодичности функции 
При нарушении этого условия свободный член ряда Фурье для 
был бы отличен от нуля, и уже по одному этому упомянутый ряд не мог бы быть получен из ряда (1) почленным дифференцированием! Например, в случае разложения (а — не целое)
[664, 7) (б)] почленное дифференцирование приводит к ряду
который заведомо никаким рядом Фурье быть не может, ибо его коэффициенты даже не стремятся к нулю [682].
Замечание. До сих пор мы говорили о возможности получения 
ряда Фурье (7) для производной 
(лег) путем почленного дифференцирования ряда Фурье исходной функции 
При этом вовсе
не было речи о сходимости ряда (7) к функции 
эту сходимость надлежит устанавливать особо, пользуясь теми или другими достаточными признаками [684, 686].
Нужно отметить, что, ввиду появления при дифференцировании 
натуральных множителей 
порядок малости коэффициентов понижается и ухудшаются шансы на сходимость. Между тем, при решении с помощью рядов Фурье задач математической физики часто приходится дифференцировать эти ряды, и даже неоднократно. Для обеспечения сходимости получаемых рядов иногда оказывается полезным предварительное выделение плохо сходящихся частей по методу А. Н. Крылова [710]. При этом сумма выделенной части, известная в конечном виде, дифференцируется непосредственно, а для остающегося ряда стараются добиться столь высокого порядка малости коэффициентов, чтобы и после дифференцирования получить все же равномерно сходящийся ряд.
