§ 4. Поверхностные интегралы второго типа

634. Определение поверхностного интеграла второго типа.

Это новое интегральное образование строится по образцу криволинейного интеграла второго типа.

Там мы исходили из направленной (ориентированной) кривой Я разложив ее на элементы, каждый такой элемент, соответственно направленный, проектировали на координатную ось. Проекция получалась тоже направленной, и мы брали ее длину со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

Аналогичным образом рассмотрим теперь двустороннюю поверхность гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон; как мы видели [620], это равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением

причем точка изменяется в области (D) на плоскости ограниченной кусочно-гладким контуром. Тогда выбор возможен между верхней и нижней сторонами поверхности. В первом случае замкнутой кривой на поверхности приписывается направление против часовой стрелки, если смотреть сверху, во втором — обратное направление.

Если поверхность разбита на элементы и каждый такой, соответственно ориентированный, элемент спроектировать на плоскость то направление обхода контура проектируемой фигуры определит и направление обхода контура проекции. Это направление будет совпадать с вращением против часовой стрелки, т. е. отвечать ориентации самой плоскости если фиксирована была верхняя сторона поверхности в этом случае мы площадь проекции будем брать со знаком плюс. В случае нижней стороны вращение будет обратным, и площадь проекции будем брать со знаком минус [стр.

Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция Разложив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на элементы

выберем в каждом элементе по точке Затем вычислим значение функции и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента снабженную знаком по указанному выше правилу. Составим, наконец, сумму (тоже, своего рода, интегральную сумму)

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом (второго типа) от

распространенным на выбранную сторону поверхности и обозначают символом

(здесь напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость

Впрочем, в этом символе не содержится как раз указания на то, какую именно сторону поверхности имеют в виду, так что это указание приходится делать всякий раз особо. Из самого определения

следует, что при замене рассматриваемой стороны поверхности противоположной стороной интеграл меняет знак.

Если поверхность не имеет указанного специального вида, то определение поверхностного интеграла строится совершенно так же, лишь площади проекций приходится брать не все с одними и теми же, а возможно и с разными знаками, если одни элементы поверхности оказываются лежащими, так сказать, вверху, а другие — снизу (рис. 95).

Если элемент лежит на цилиндрической части поверхности, с образующими, параллельными оси z, то проекцией его служит направляющая цилиндрической поверхности; мы будем предполагать, что эта кривая имеет нулевую площадь, и в таком случае о знаке ее говорить не приходится.

Рис. 95.

Однако здесь может встретиться и такой случай, когда элемент лежит частью сверху, частью снизу, либо когда элемент не проектируется на плоскость взаимно однозначно.

Так как на деле роль подобных «неправильных» элементов ничтожна, то слагаемых, отвечающих этим элементам, мы в интегральную сумму включать не будем. Ниже мы убедимся в том, что это соглашение не вносит никаких осложнений ни в вычисление, ни в использование поверхностных интегралов.

Если вместо плоскости проектировать элементы поверхности на плоскость или то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

где суть функции от определенные в точках поверхности Еще раз подчеркнем, что во всех случаях поверхность предполагается двусторонней и что интеграл распространяется на определенную ее сторону.