663. Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку.

Вернемся теперь к общим выражениям (17) и (18) п° 649 для проекций на координатные оси притяжения телом точки и потенциала на эту точку, но остановимся специально на том случае, когда сама точка А принадлежит телу. Это снова даст повод использовать замену переменных.

Легко убедиться, прежде всего, в существовании упомянутых несобственных интегралов. Достаточно перейти к сферическим координатам, выбрав за полюс точку А, чтобы эти интегралы преобразовались в собственные. Если вырезать из тела (V) сферу радиуса с центром в А, то получим

аналогично

и т. д. Подинтегральные функции здесь оказываются непрерывными

Гораздо более тонких соображений требует установление для рассматриваемого случая соотношений (19) п° 649. Здесь также оказываются полезными сферические координаты.

Прежде всего из предыдущих равенств получаются неравенства

которыми мы ниже воспользуемся.

Придании теперь приращение и наряду с точкой рассмотрим точку . Обозначая по-прежнему через расстояние от точки А до произвольной точки тела, через обозначим расстояние Нужно доказать, что при и разность

стремится к нулю.

Выделим из тела (V) сферу радиуса с центром в А (рис. 115); тогда представится в виде суммы четырех членов:

Второй и третий члены сразу оцениваются с помощью неравенств (13) и (14) при

Чтобы удобнее оценить первый член, окружим точку сферой радиуса в ней целиком содержится сфера

Рис. 115.

Тогда, снова пользуясь неравенством вида (13), будем иметь

Наконец, обращаемся к последнему члену. Если ввести функцию

то выражение в фигурных скобках есть не что иное, как

что по формуле Тейлора может быть заменено через

Но в нашем случае

поэтому 4

где есть расстояние от точки М до точки .

Из треугольника (см. рис.) имеем Но точка М лежит вне сферы рис. 2 очевидно, меньше так что Учитывая все это, приходим к такой оценке:

Возьмем теперь сферу с центром в А, столь большого радиуса чтобы в ней целиком содержалось тело (V). Тогда полученное выражение в свою очередь оказывается меньшим, чем

Окончательно

где — постоянные, которые нетрудно подсчитать. Отсюда ясно, что вместе с стремится к нулю, т. е.

Аналогично устанавливаются и другие два из соотношений (19) п° 649. Наконец, подобными же соображениями можно доказать и непрерывность производных даже для точек А, принадлежащих телу (7).