742. Решение задачи Дирихле для круга.

Интеграл Пуассона, изученный в предыдущем п°, может быть использован при решении так называемой задачи Дирихле для одного простого, но важного частного случая. Напомним, что функция называется гармонической в некоторой области, если она в этой области непрерывна вместе со своими производными и удовлетворяет уравнению в частных производных

(уравнение Лапласа). Рассмотрим конечную область (О), ограниченную замкнутым контуром Тогда задача Дирихле для этой области формулируется следующим образом: на контуре произвольно задана непрерывная функция точки; требуется же найти такую непрерывную в замкнутой области (D) и гармоническую внутри нее функцию которая на контуре совпадала бы с заданной функцией Мы дадим решение этой задачи для случая, когда область (D) есть круг, описанный вокруг начала радиусом 1 (к это» очевидно, легко приводится и случай произвольного круга).

Рис. 145.

Итак, пусть на окружности названного круга задана некоторая непрерывная функция точки. Если положение точки на окружности определять полярным углом (рис. 145), то это равносильно заданию непрерывной (и, очевидно, имеющей период функции Нам удобно и внутри круга (О) перейти к полярным координатам заменив уравнение (10) соответственно преобразованным уравнением

[см. 222, 1)]; нам предстоит, таким образом, найти непрерывную при функцию которая при удовлетворяла бы уравнению (10*), а при совпадала бы с

В порядке наведения начнем с простейших (не считая постоянной) решений уравнения (10:

найти их можно было бы по методу Фурье [701]. Нетрудно проверить непосредственно, что эти функции уравнению удовлетворяют. Умножив их на произвольные множители и присоединив еще постоянный член составим ряд

который формально также удовлетворяет уравнению (10*). Наконец, учитывая граничное условие: получим

откуда, как обычно, заключаем, что суть коэффициенты Фурье функции

Окончательно приходим к такому, пока формальному, решению поставленной задачи:

В этом ряде легко узнать ряд Пуассона для функции который, если угодно, можно заменить и интегралом Пуассона:

Остается убедиться, что построенная функция в действительности удовлетворяет всем требованиям.

Прежде всего, так как коэффициенты ограничены в их совокупности, то нетрудно видеть, что если рассматривать лишь значения где но может быть взято сколь угодно близким к единице, ряды, полученные из (11) почленным дифференцированием по или по 0 (однажды или дважды), все будут сходиться равномерно как относительно так и относительно 0. В таком случае они и дадут последовательные производные функции и и эта функция внутри круга, т. е. при будет удовлетворять преобразованному уравнению Лапласа, поскольку ему удовлетворяют по отдельности все члены ряда.

Внутри круга функция и непрерывна по совокупности переменных ; это вытекает из равномерной сходимости ряда (11) сразу по обеим переменным (при ) по теореме 1 п° 431, которая легко распространяется и на случай функций двух переменных. Установим теперь, что функция и при приближении точки изнутри круга к точке на окружности, стремится именно к Действительно, ввиду непрерывности функции по произвольно взятому найдется такое что при будет

С другой стороны, в силу того, что и при стремится к равномерно относительно 0 [741], число 8 можно считать и столь малым, что при будет

при всех . Итак, окончательно при имеем:

что и завершает доказательство.