739. Некоторые приложения уравнения замкнутости.

Уравнение замкнутости находит многообразные приложения как в самой теории рядов Фурье, так и в других областях анализа. Мы рассмотрим в виде примера некоторые из них.

1°. Абсолютная сходимость рядов Фурье. С. Н. Бернштейну принадлежит следующая теорема: если функция с периодом удовлетворяет условию Липшица

с показателем то сходится ряд

где — коэффициенты Фурье функции

Заметим прежде всего, что, если

то

690, 26)]. В таком случае

и, по уравнению замкнутости,

Если учесть теперь само условие Липшица, то интеграл слева оценится числом где С — постоянная. Взяв произвольное натуральное число положим — тогда

(здесь означает новую постоянную), а следовательно, и подавно

Но для очевидно,

и можно утверждать, что

В частности, если выбрать имеем

Но по известному неравенству 133 (5а)

Суммируя все подобные неравенства при получим

ибо при ряд справа сходится. Теорема доказана.

Полученный результат предельно точен: примером можно показать, что при он уже не имеет места.

2°. Доказательство некоторых неравенств. Уравнение замкнутости применяется к доказательству ряда полезных неравенств.

Начнем с неравенств, указанных впервые В. А. Стекловым и с успехом использованных им в математической физике. Пусть функция непрерывна в промежутке и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную интегрируемую с квадратом. Тогда, если выполняется одно из двух условий

или

имеет место неравенство

причем равенство осуществляется в случае (а) лишь для функций вида , а в случае - для функций вида

Начнем со случая (а). В этом случае в разложении функции в промежутке по косинусам отсутствует свободный член:

Так как при четном продолжении функции на промежуток выполняется условие то по правилу п° 732

Теперь согласно уравнению замкнутости, которое, как легко видеть, имеет место в промежутке и для ряда по косинусам и для ряда по синусам, будет

и одновременно

Отсюда непосредственно и вытекает неравенство (24), причем ясно, что равенство может иметь место, лишь если

В случае аналогично рассмотрим для функции ряд по синусам:

При нечетном продолжении функции на промежуток , именно в силу условия сохранится непрерывность при и выполнится требование так что снова приложимо правило п° 732:

Применение уравнения замкнутости и здесь сразу решает вопрос.

Впоследствии Виртингер (W. Wirtinger) установил несколько более общее неравенство. Предположим, что функция непрерывна в промежутке и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную интегрируемую с квадратом. Тогда, если выполнены условия

имеет место неравенство

причем равенство осуществляется для функций вида

Доказательство, как и выше, сводится к применению уравнения замкнутости к рядам

и

Неравенства Стеклова получаются из (25), если, в частности, положить функцию четной или нечетной.

Ниже мы приводим пример установления более сложного неравенства. 3°. Изопериметрическая задача-, требуется среди всевозможных замкнутых плоских кривых, имеющих данную длину найти ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади.

Известно, что решением является окружность; приведем чисто аналитическое доказательство этого факта, принадлежащее Гурвицу (A. Hurwitz), причем ограничимся рассмотрением гладких кривых.

Итак, пусть замкнутая гладкая кривая длины задана параметрически, причем в роли параметра фигурирует длина дуги отсчитываемая от некоторой точки:

Переходя к параметру изменяющемуся от 0 до перепишем эти уравнения в виде

особо отметим выполнение условий

В силу 732, ясно, что из рядов Фурье, в которые разлагаются функции

ряды Фурье для их производных получаются почленным дифференцированием;

Применяя здесь уравнение замкнутости, получим:

Так как

то отсюда

С другой стороны, площадь фигуры, ограниченной рассматриваемой кривой, по известной формуле [526 (9)] выразится так:

Воспользовавшись на этот раз обобщенным уравнением замкнутости, представим выражение для площади в виде

В таком случае, вычитая из равенства (27) равенство (29), умноженное на получим:

и, так как все слагаемые суммы в фигурных скобках неотрицательны, всегда будет выполняться «изопериметрическое неравенство»

то

Знак равенства имеет место — и одновременно площадь получает наибольшее из возможных для нее значений — лишь в том случае, если все слагаемые — нули, т. е. если

Это равносильно соотношениям

Но тогда

откуда

и наша кривая есть не что иное, как окружность! Этим и доказано экстремальное свойство круга.

Заметим, впрочем, что если воспользоваться неравенством (25), то изопериметрическое неравенство можно установить, уже не прибегая к уравнению замкнутости. Действительно, мы можем, не умаляя общности, предположить, что центр тяжести кривой лежит на оси у, т. е. что

Тогда из (26) и (28) имеем

— именно в силу неравенства (25), с учетом условия (30). При этом равенство может осуществиться, лишь если откуда