585. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса.

После того как читатель освоился с интегралом Стилтьеса, полезно теперь вернуться к рассмотрению криволинейного интеграла второго типа [546]:

Представим себе, что кривая задана параметрически уравнениями

и описывается именно в направлении от А к В, когда t монотонно изменяется от до . Пусть для определенности . Тогда точкам взятым на кривой для образования интегральной суммы, будут отвечать возрастающие значения параметра

а выбранной на дуге точке значение Сама же интегральная сумма, например, для первого из интегралов, напишется в виде

Непосредственно ясно, что она представляет собою стилтьесову сумму, так что криволинейный интеграл второго типа по самому определению отождествляется с частным случаем интеграла лтьеса:

Аналогично и

Отсюда с легкостью получаются очень общие условия существования криволинейного интеграла (35); достаточно предположить функцию непрерывной, а функцию смотря по случаю] имеющей ограниченное изменение [575, 1°].

В частности, если кривая спрямляема [572], а функции непрерывны, то существует интеграл

Теперь, если учесть сказанное в 579 о вычислении интегралов Стилтьеса [особенно, см. то можно наново получить формулы (4), (5) или (6) п° 647, и даже при более общих предположениях, чем раньше.

Далее, легко обобщить теперь окончательный результат п° 651: площадь фигуры ограниченной непрерывной ямляе мой кривой, выражается любой из формул (9), (10) или (11) указанного п°. При этом ничего не придется менять в рассуждениях, ибо лемма п° 650 (и замечание к ней) непосредственно обобщается на случай спрямляемой кривой; см. также 572, заключительное замечание.

Наконец, и вся теория независимости криволинейного интеграла от пути [§ 3] также непосредственно распространяется на случай интегралов, взятых по любым спрямляемым путям.