745. Почленное дифференцирование рядов Фурье.

Если ряд Фурье (3) функции продифференцировать почленно, то полученный ряд

вообще говоря, - и будет расходящимся, даже если в рассматриваемой точке х для функции существует конечная производная Примером может служить только что упомянутый ряд (15): почленное дифференцирование приводит к повсюду расходящемуся ряду

Однако имеет место следующее интересное предложение, принадлежащее Фату (P. Fatou): если в точке х существует конечная производная то ряд (16) суммируем по методу Пуассона — Абеля и именно к сумме

Для доказательства продифференцируем по х ряд Пуассона (4):

почленное дифференцирование здесь допустимо в силу равномерной относительно х сходимости полученного ряда. Тот же результат получится, если продифференцировать по х интеграл Пуассона (5):

причем в этом случае можно дифференцировать под знаком интеграла по теореме 3 п° 610. Последний интеграл преобразуем так:

Положим

если переписать это выражение в виде

то станет ясно, что

Покажем, далее, что функция

является положительным ядром в смысле п° 740. Прежде всего, очевидно,

Положим в (18), в частности, Тогда

Подставляя все это, по сокращении на получим, что

Наконец,

так что заведомо при

Применяя теперь лемму п° 740, видим, что интеграл (18), который служит суммой ряда (17), стремится к при . А это и означает, что ряд (16) суммируется по методу Пуассона — Абеля к что и требовалось доказать.

Замечания. Доказанная теорема может быть обобщена на случай повторного дифференцирования: ест в рассматриваемой точке существует конечная производная то ряд, полученный из (3) -кратным дифференцированием, суммируем к по методу Пуассона — Абеля.

II. Для суммирования по Чезаро уже не имеет места утверждение, аналогичное теореме Фату. Если, впрочем, усилить требования к производной и предположить непрерывность ее в рассматриваемой точке, то суммирование по Пуассону — Абелю может быть заменено суммированием по Чезаро.