620. Ориентация поверхностей и пространства.

Пусть будет незамкнутая гладкая двусторонняя поверхность, ограниченная простым контуром выберем определенную сторону этой поверхности. Припишем теперь контуру определенное направление обхода в качестве положительного по следующему правилу, обход должен казаться происходящим против часовой стрелки наблюдателю, движущемуся в этом направлении по контуру так, что нормаль к поверхности, отвечающая выбранной стороне, пронизывает его от ног к голове. Слова «против часовой стрелки» - означают, точнее говоря, что наблюдатель должен видеть непосредственно прилегающую к нему часть поверхности слева от себя. По тому же правилу одновременно устанавливается положительное направление обхода для каждого простого замкнутого контура, лежащего на поверхности и ограничивающего некоторую ее часть Направление обхода, обратное положительному, назовем отрицательным. В совокупности все это и составляет содержание понятия ориентации поверхности.

Если исходить из другой стороны поверхности, то нормали изменят свое направление на обратное, изменится положение наблюдателя, в связи с чем по нашему правилу придется переставить положительное и отрицательное направления обхода контура и

других контуров, лежащих на поверхности: поверхность изменит свою ориентацию. Таким образом, если всегда держаться установленного правила, выбор стороны поверхности определяет ее ориентацию и, обратно, выбор положительного направления обхода контура поверхности однозначно определяет ее сторону.

В случае замкнутой гладкой поверхности (5), ограничивающей некоторое тело, речь может идти о внешней или о внутренней по отношению к этому телу стороне поверхности. Установить для любого простого замкнутого контура положительное направление обхода с помощью сформулированного выше правила на этот раз не удается. Причина этого — двоякая. Прежде всего такой контур может просто «не разделять» поверхность (как, например, в случае любых параллелей или меридианов на торе), и тогда поверхность примыкает к контуру с обеих сторон: наше правило ничего не дает. Но если даже контур «разделяет» поверхность на две области, то он обе их «ограничивает» в равной мере, и в зависимости от того, какую из них выбрать, наше правило приводит к тому или другому из двух направлений на контуре, как к положительному. Ограничиваясь контурами, «разделяющими» поверхность, мы станем вместе с контуром указывать и область, тогда положительное направление устанавливается уже вполне однозначно Этим и определяется ориентация поверхности — та или другая, в зависимости от выбранной стороны.

Если условиться принять для каждой такой поверхности за положительную ориентацию ту, которая отвечает внешней стороне поверхности, а за отрицательную — противоположную ей, то этим создается некая определенная ориентация самого пространства. вполне аналогично тому, как выбор положительного направления (можно было бы сказать — положительной ориентации) на любом лежащем на плоскости простом замкнутом контуре характеризовал ориентацию плоскости [648].

Та ориентация пространства, которая сейчас была определена и в основу которой в конечном счете было положено вращение против часовой стрелки, называется правой. Если вместо этого исходить из вращения по часовой стрелке, то получится левая ориентация пространства. Для избежания путаницы мы впредь в тех вопросах, где ориентация пространства играет роль, всегда будем предполагать правую ориентацию пространства.

Нужно сказать, что и самое расположение координатных осей в пространстве ставится в связь с установленной ориентацией

пространства. При правой ориентации оси располагаются так, что вращение от оси х к оси у кажется происходящим против часовой стрелки, если на них смотреть из положительной части оси z (это сохраняет силу и при круговых перестановках букв ; при левой ориентации упомянутое вращение происходит по часовой стрелке (рис. 83, б). В первом случае координатная система называется правой, а во втором — левой. В согласии с заключенным выше условием мы в указанных случаях впредь будем пользоваться правой координатной системой.

Рис. 83.