640. Примеры.

1) Вычислить интеграл

распространенный на нижнюю сторону круга

Указание. Так как поверхность, по которой берется интеграл, совпадает со своей проекцией на плоскость то, учитывая сторону, имеем

Ответ.

2) Вычислить интеграл

по верхней стороне нижней половины сферы

Указание. Проекцией полусферы на плоскость служит круг (D), ограниченный окружностью . Уравнение нижней полусферы Поэтому

Ответ.

3) Вычислить интеграл

распространенный на внешнюю сторону сферы

Решение. Остановимся на вычислении интеграла

Так как явное уравнение сферы будет

(где плюс отвечает верхней полусфере, а минус — нижней), то удобно представить подинтегральную функцию в виде

Сумма первых двух членов, будучи проинтегрирована по верхней стороне верхней полусферы и нижней стороне нижней полусферы, дает результаты разных знаков, которые взаимно уничтожаются. Последний же член, который сам меняет знак при переходе от верхней полусферы к нижней, дает при интегрировании по ним равные результаты, так что

Аналогично получаются и другие два интеграла

Ответ.

4) Найти интегралы

распространенные на внешнюю сторону эллипсоида

Ответ,

5) Вычислить интегралы

по верхней стороне верхней половины того же эллипсоида.

Решение,

где есть первый квадрант эллипса . Переходя к обобщенным полярным координатам, легко найдем

Можно столь же легко получить этот результат, исходя из параметрического представления нашей поверхности:

Так как то по формуле (10)

(Верхней стороне поверхности отвечает знак плюс в упомянутой формуле).

(б) Пользуясь и здесь параметрическим представлением, заметим, что Поэтому

6) Найти интеграл

во внешней стороне эллипсоида, о котором была речь выше.

Указание. Интеграл — несобственный, поскольку подинтегральное выражение обращается в бесконечность (в сечениях эллипсоида плоскостями координат). С помощью параметрического представления приходим к собственному двойному интегралу.

Ответ.

7) Если выражение (16) для объема V тела преобразовать по формуле (10) в обыкновенный двойной интеграл, то получим

Учитывая значения А, В, С как определителей, легко результат этот представить в виде

При этом знак плюс ставится, если А, В, С имеют знаки направляющих косинусов внешней нормали; в противном случае ставится знак минус.

8) Вычислить по этой формуле объем V эллипсоида

исходя из параметрического представления

Указание. Определитель равен . Ответ.

9) Если поверхность, ограничивающая тело, задана полярным уравнением:

то, как в 629, 14), можно перейти к параметрическому представлению поверхности, причем роль параметров играют .

Предлагается, исходя из этого представления, вывести из формулы (23) изящное выражение для объема;

где есть область изменения параметров .

10) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью

Решение. Исходя из полярного уравнения поверхности

используем формулу (24). Будем иметь:

Вычисляя первый интеграл по формуле (8) из 312, а второй — по формуле в 534, 4), (а), окончательно найдем:

11) Проверить формулу Стокса (21) для функций

если контур есть окружность а поверхностью служит полусфера При этом на поверхности возьмем верхнюю сторону, а контуру придадим направление против часовой стрелки (если смотреть сверху).

Интеграл

очевидно, приводится к одному первому члену

Далее, имеем

Вычисляя интеграл

придем к тому же результату.

12) Проверить формулу Стокса для функций

если есть окружность

— ограниченный ею круг.

(Круг этот получается в пересечении плоскости и сферы его радиус равен Криволинейный интеграл

поверхностный же

оказывается равен сумме площадей проекций упомянутого круга на координатные плоскости, взятой с обратным знаком, т. е.

13) Проверить формулу Стокса, положив

и взяв в качестве поверхность, вырезанную цилиндром из сферы

Прибегнув к параметрическому представлению кривой

для криволинейного интеграла найдем довольно сложное выражение в виде обыкновенного интеграла:

Но первое и третье слагаемые в фигурных скобках имеют вид и интегралы от них, ввиду периодичности косинуса, равны нулю. Выполнив остающуюся выкладку, получим

Поверхностный же интеграл

распространенный на верхнюю сторону упомянутой поверхности, преобразуем сначала в интеграл другого типа:

Так как

то, подставляя эти выражения, произведем упрощение и сведем искомый интеграл к следующему:

В силу симметрии поверхности относительно плоскости интеграл оказывается нулем. Остающийся же интеграл снова преобразуем к интегралу второго типа:

14) Проверить формулу Стокса

взяв за винтовую поверхность

ограниченную двумя винтовыми линиями и двумя прямолинейными отрезками в совокупности образующими контур (I).

Ответ. Если поверхностный интеграл распространить на верхнюю сторону указанной поверхности, а криволинейный взять в соответствующем направлении, то оба интеграла равны