575. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса.

I. Если функция непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса

существует.

Сначала предположим, что монотонно возрастает: тогда применим критерий предыдущего п°. По произвольно заданному ввиду равномерной непрерывности функции найдется такое , что в любом промежутке с длиной, меньшей , колебание будет меньше . Пусть теперь промежуток произвольно разбит на части так, что Тогда все и

откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.

В общем случае, если функция имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: . В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции

Так как по уже доказанному. каждая из сумм а, и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы , что и требовалось доказать.

Можно ослабить условия, налагаемые на функцию если одновременно усилить требования к функции

II. Если функция интегрируема в в смысле Римана, удовлетворяет условию Липшица:

то интеграл (5) существует.

Для того чтобы опять иметь возможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию не только удовлетворяющей условию (6), но и монотонно возрастающей.

Ввиду (6), очевидно так что

Но последняя сумма при и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции , а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).

В общем случае функции удовлетворяющей условию Липшица (6), представим ее в виде разности

Функция очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции так как, в силу (6), при

и

В таком случае рассуждение завершается, как и выше.

III. Если функция интегрируема в смысле Римана, а функция представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:

где абсолютно интегрируема в промежутке то интеграл (5) существует.

Пусть так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена: то для имеем

Таким образом, в этом случае удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу II.

Предположим теперь, что интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, скажем Прежде всего, по произвольно взятому выберем так, чтобы было

где — общее колебание функции в рассматриваемом промежутке.

Разобьем промежуток по произволу на части и составим сумму

Она разлагается на две суммы из коих первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке вторая — остальным промежуткам. Последние наверное содержатся в промежутке если только тогда, в силу (8),

С другой стороны, так как в промежутке функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом X и сумма станет меньше у. Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.

В общем случае, когда функция абсолютно интегрируема в промежутке мы рассмотрим функции

очевидно, неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как

то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.

Замечание. Пусть функция непрерывна в промежутке и имеет, исключая разве лишь конечное число точек, производную

причем эта производная интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от а до тогда, как известно [470°, замечание], имеет место формула типа (7):

Если абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в III.