682. Первая основная лемма.

Прежде чем продолжить наше исследование, докажем следующее важное для дальнейшего утверждение, которое принадлежит Риману:

Если функция абсолютно интегрируема в некотором конечном промежутке то

и, аналогично,

Доказательство достаточно провести для первого из этих пределов. Заметим предварительно, что, каков бы ни был конечный промежуток ], имеем такую оценку:

Допустим сначала, что функция интегрируема в собственном смысле. Разобьем промежуток на частей точками

и в соответствии с этим разложим и интеграл

Обозначив через точную нижнюю границу значений промежутке, можно преобразовать это выражение так:

Если есть колебание функции промежутке, то в его пределах с учетом неравенства (5) теперь легко получить для нашего интеграла оценку:

Задавшись произвольным числом выберем сначала дробление (6) так, чтобы было

это сделать можно именно ввиду интегрируемости функции Теперь, так как числа тем самым уже определены можем взять

и для этих значений получим

что и доказывает наше утверждение.

В случае, если функция интегрируема в несобственном смысл» (но обязательно абсолютно!) достаточно ограничиться предполо жением, что в промежутке имеется лишь одна особая точка например точка

Пусть — а. Разлагая интеграл на два:

для второго интеграла справа имеем при любом оценку:

что если выбрать достаточно малым. Что же касается теграла

то при он стремится к нулю — по уже доказанному, как в промежутке функция интегрируема в с обет венном смысле слова; написанный интеграл по абсолютной величине также станет достаточно большом . Этим и завершается доказательство.

Мы обращаем внимание читателя на то, что уже здесь пределы к которым стремятся интегралы, установлены помимо предель ного перехода под знаком интеграла.

Если вспомнить формулы (1), выражающие коэффициенты то в качестве первого непосредственного следствия отсюда получается утверждение:

Коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции при стремятся к нулю.