552. Примеры.
1) Найти площадь эллипса с полуосями а и 
. Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: 
По формуле (11)
Для вычисления криволинейного интеграла мы применили формулу (6); при расстановке пределов интегрирования было принято во внимание, что положительный обход контура отвечает возрастанию параметра.
2) Найти площадь астроиды
Ответ.
Рис. 11.
3) Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркр эпициклоиды
и соответствующей дугой круга (рис. 11).
Решение. Интеграл (11) нужно взять сначала по кривой 
, а затем по кривой 
. В первом случае мы можем воспользоваться написанными выше уравнениями, изменяя t от 0 до 
Тогда
так что
Что же касается дуги круга 
то, сохраняя тот же параметр, ее можно выразить уравнениями
изменяя t на этот раз от 
до 0. Соответствующий интеграл будет
Итак, искомая площадь равна
4) Найти площадь петли декартова листа (рис. 12)
Решение. Для получения параметрических уравнений контура положим 
. Тогда [ср. 224, 5)]
Из геометрических соображений ясно, что петля описывается при изменении параметра t от 0 до 
ибо 
, где 0 изменяется от 0 до 
Рис. 12.
Имеем
и
Отметим, что здесь мы использовали несобственный интеграл с бесконечным пределом, в то время как при выводе формулы (6) мы считали, что промежуток изменения параметра конечен. Оправдать сделанное легко, если предварительно ввести другой параметр с конечным промежутком изменения (например, угол 
а затем уже перейти к параметру 
5) То же для кривой:
Указание. Ввести 
меняя t от 0 до 
. В случае (б)
При интегрировании разложение на простые дроби можно получить, исходя из тождества
6) Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат и кривой
Ответ. 
7) В качестве примера применения общей формулы (10) для вычисления площадей плоских фигур любой формы остановимся в заключение на такой задаче.
Рис. 13.
Пусть основанием некоторого тела служат две произвольного вида фигуры, лежащие в двух параллельных плоскостях, а боковая поверхность его является линейчатой и образована прямыми, соединяющими по произвольному закону точки контуров упомянутых фигур (рис. 13). Доказать, что объем V тела выражается формулой
где 
означает высоту тела, а 
суть площади его оснований и среднего сечения.
Мы знаем, что объем V по площади 
поперечных сечений выражается формулой 
[см. 342] С другой стороны, формула Симпсона:
если 
есть многочлен степени не выше третьей, является точной [см. 327, сноска]. На деле, как мы увидим, 
представляет собой многочлен второй степени.
Пусть
будут уравнения образующей той линейчатой поверхности, которая ограничивает наше тело. При этом можно предположить, что коэффициенты Ь являются функциями от некоторого параметра t, при изменении которого (скажем, от 
до Т) образующая и описывает поверхность. Если теперь пересечь поверхность плоскостью, параллельной плоскости 
на расстоянии х от нее, то в сечении получится кривая, проекция которой (без искажения!) на плоскость 
как раз и будет иметь уравнения (13) своими параметрическими уравнениями. Предположим, что при изменении t от 
до Т контуры всех сечений описываются (соответствующими точками образующей) в положительном направлении. Тогда площадь сечения, например, по формуле, аналогичной (10), выразится так:
т. е. действительно представится квадратным трехчленом от х.
Легко показать, что формула, аналогичная формуле (12), применима и к вычислению статического момента нашего тела относительно плоскости 
Этот момент выражается интегралом
[356, 1)], и здесь подинтегральная функция будет полиномом третьей степени.
