552. Примеры.

1) Найти площадь эллипса с полуосями а и . Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: По формуле (11)

Для вычисления криволинейного интеграла мы применили формулу (6); при расстановке пределов интегрирования было принято во внимание, что положительный обход контура отвечает возрастанию параметра.

2) Найти площадь астроиды

Ответ.

Рис. 11.

3) Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркр эпициклоиды

и соответствующей дугой круга (рис. 11).

Решение. Интеграл (11) нужно взять сначала по кривой , а затем по кривой . В первом случае мы можем воспользоваться написанными выше уравнениями, изменяя t от 0 до Тогда

так что

Что же касается дуги круга то, сохраняя тот же параметр, ее можно выразить уравнениями

изменяя t на этот раз от до 0. Соответствующий интеграл будет

Итак, искомая площадь равна

4) Найти площадь петли декартова листа (рис. 12)

Решение. Для получения параметрических уравнений контура положим . Тогда [ср. 224, 5)]

Из геометрических соображений ясно, что петля описывается при изменении параметра t от 0 до ибо , где 0 изменяется от 0 до

Рис. 12.

Имеем

и

Отметим, что здесь мы использовали несобственный интеграл с бесконечным пределом, в то время как при выводе формулы (6) мы считали, что промежуток изменения параметра конечен. Оправдать сделанное легко, если предварительно ввести другой параметр с конечным промежутком изменения (например, угол а затем уже перейти к параметру

5) То же для кривой:

Указание. Ввести меняя t от 0 до . В случае (б)

При интегрировании разложение на простые дроби можно получить, исходя из тождества

6) Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат и кривой

Ответ.

7) В качестве примера применения общей формулы (10) для вычисления площадей плоских фигур любой формы остановимся в заключение на такой задаче.

Рис. 13.

Пусть основанием некоторого тела служат две произвольного вида фигуры, лежащие в двух параллельных плоскостях, а боковая поверхность его является линейчатой и образована прямыми, соединяющими по произвольному закону точки контуров упомянутых фигур (рис. 13). Доказать, что объем V тела выражается формулой

где означает высоту тела, а суть площади его оснований и среднего сечения.

Мы знаем, что объем V по площади поперечных сечений выражается формулой

[см. 342] С другой стороны, формула Симпсона:

если есть многочлен степени не выше третьей, является точной [см. 327, сноска]. На деле, как мы увидим, представляет собой многочлен второй степени.

Пусть

будут уравнения образующей той линейчатой поверхности, которая ограничивает наше тело. При этом можно предположить, что коэффициенты Ь являются функциями от некоторого параметра t, при изменении которого (скажем, от до Т) образующая и описывает поверхность. Если теперь пересечь поверхность плоскостью, параллельной плоскости на расстоянии х от нее, то в сечении получится кривая, проекция которой (без искажения!) на плоскость как раз и будет иметь уравнения (13) своими параметрическими уравнениями. Предположим, что при изменении t от до Т контуры всех сечений описываются (соответствующими точками образующей) в положительном направлении. Тогда площадь сечения, например, по формуле, аналогичной (10), выразится так:

т. е. действительно представится квадратным трехчленом от х.

Легко показать, что формула, аналогичная формуле (12), применима и к вычислению статического момента нашего тела относительно плоскости Этот момент выражается интегралом

[356, 1)], и здесь подинтегральная функция будет полиномом третьей степени.