588. Определение двойного интеграла.
Впрочем, и здесь нам не обойтись без геометрии или, по крайней мере, без геометрического языка [160—163]. Мы будем говорить о «двумерной области» (Р), где определена рассматриваемая функция двух переменных, «кривыми» делить ее на частичные «области», будем брать «площади» этих «областей» и т. п. На деле это — «области» и «кривые» из арифметического двумерного пространства, их «точками» служат пары чисел. Но обыкновенно все эти «образы» заменяются для удобства соответствующими им настоящими геометрическими
образами, не делая никакой разницы между ними. В частности, под «площадью области» из арифметического двумерного пространства разумеется всегда площадь соответствующей геометрической области.
Напомним, что для квадрируемости области, ограниченной какой-либо кривой, необходимо и достаточно, чтобы эта кривая имела площадь 0 [337]. Широкий класс таких кривых образуют гладкие кривые или кривые, состоящие из конечного числа гладких кусков (так называемые кусочно-гладкие кривые). Мы будем предполагать впредь, что как контур области (Р), так и кривые, которыми мы разлагаем ее на части, все имеют площадь О (например, принадлежат к указанному классу); этим обеспечивается существование всех нужных нам площадей.
Вернемся теперь к понятию двойного интеграла, фактически уже введенному в п° 686, и дадим в развернутом виде общее его определение.
Пусть в области (Р) определена функция 
. Разобьем область (Р) сетью кривых на конечное число областей 
площади которых будут 
Хотя проще всего эти частичные области представлять себе связными, но для облегчения дальнейшего изложения выгодно не исключать для них возможности быть и несвязными. В пределах 
элементарной области 
возьмем по произволу точку 
значение функции в этой точке 
умножим на площадь 
соответствующей области и все подобные произведения сложим. Полученную сумму
будем называть интегральной суммой для функции 
в области (Р).
Обозначим через X наибольший из диаметров частичных областей 
Конечный предел I интегральной суммы а при 
называется двойным интегралом функции 
в области (Р) и обозначается символом
Функция, имеющая интеграл, называется интегрируемой.
