736. Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Ляпунова.

Имеет место следующая замечательная теорема, строгое доказательство которой (для случая ограниченной функции) впервые было дано А. М. Ляпуновым.

Теорема. Какова бы ни была интегрируемая с квадратом функция всегда

и выполняется уравнение замкнутости

Доказательство мы разобьем на несколько этапов.

1°. Если функция непрерывна в промежутке и удовлетворяет условию то по первой теореме Вейерштрасса существует такой тригонометрический многочлен (порядок которого мы здесь обозначим через что

где произвольное наперед заданное положительное число. Тогда

По экстремальному же свойству отрезка ряда Фурье [735], поскольку при желании можно рассматривать как тригонометрический многочлен любого порядка и подавно, при

так что

2°. Для того чтобы распространить это заключение и на другие случаи, установим одно вспомогательное неравенство.

Если интегрируемая с квадратом функция представляется в виде суммы двух подобных же функций, то, обозначая штрихами относящиеся к ним величины, будем иметь

откуда

и, далее,

или, короче:

Заметим, наконец, что из тождества Бесселя [см. (19)], примененного к функции следует

Таким образом, окончательно

Это и есть нужное нам неравенство.

3°. Пусть теперь функция будет интегрируема в собственном смысле (а значит ограничена) в промежутке . Изменяя в случае надобности значение функции на одном из концов промежутка, можно считать, что Построим вспомогательную функцию как мы делали это при доказательстве первой теоремы Вейерштрасса [734], причем дробление промежутка на этот раз выберем так, чтобы было

где — наперед взятое по произволу положительное число, — колебание функции частичном промежутке, а — полное колебание функции во всем промежутке от до [297].

Мы положим

В силу 1°, при , так что, начиная с некоторого места,

С другой стороны, так как в частичном промежутке

то

Теперь, ввиду (21), уже ясно, что для достаточно больших будет

4°. Пусть, наконец, функция будет интегрируема в несобственном смысле, но обязательно с квадратом. Для простоты предположим, что при этом единственной особой точкой для (и для будет Тогда по заданному можно найти такое что будет

Положим в этом случае

и, наоборот,

Очевидно,

С другой стороны, к функции интегрируемой в собственном смысле, приложим только что доказанный результат. С помощью (21) заключаем, что и здесь Этим завершается доказательство теоремы Ляпунова.

Пользуясь установленной в предыдущем п° терминологией, можно сказать, что тригонометрическая система является замкнутой.