577. Интегрирование по частям.
Для интегралов Стилтьеса имеет место формула
в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем ее.
Пусть существует интеграл 
. Разложив промежуток 
на части 
выберем в этих частях произвольно по точке 
так что
Сумму Стилтьеса для интеграла 
можно представить в виде
Если прибавить и отнять справа выражение
то а перепишется так:
Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла 
(существование которого предположено!).
Она отвечает разбиению промежутка 
точками деления
если в качестве выбранных из промежутков 
точек взять 
а для промежутков 
соответственно, а и 
Если, как обычно, положить 
, то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут 
При 
сумма в квадратных скобках стремится к 
следовательно, сушествует предел и для а, т. е. интеграл 
и этот интеграл определяется формулой (9).
Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция 
в промежутке 
интегрируема по функции 
то и функция 
интегрируема по функции 
Это замечание позволяет добавить ряд новых случаев существования интеграла Стилтьеса к тем, которые были рассмотрены в 575, переменив роли функций 
