637. Деталь доказательства.

Обратимся к доказательству соотношения (7). Мы утверждаем, что по любому наперед заданному найдется такое что, лишь только диаметры всех элементов будут меньше в «неправильных» элементах повсюду будет выполняться неравенство

Допустим противное; тогда существуют такое и такая последовательность «неправильных» элементов с убывающими до нуля диаметрами, что в некоторой точке каждого будет

Если через обозначить элемент области , отвечающий то и диаметры элементов также стремятся к нулю. С помощью леммы Больцано—Вейерштрасса [172], из последовательности можно выделить такую частичную последовательность, элементы которой стягиваются к некоторой точке области ; впрочем, без умаления общности можно предположить это относительно самой последовательности

Для угла отвечающего значениям параметров и, необходимо должно быть

Действительно, в противном случае мы имели бы для этих значений параметров

Но тогда в окрестности точки можно было бы рассматривать и, как однозначные функции от х, у и, подставив их выражения через х, у в функцию представить поверхность явным уравнением

Кроме того, в этой окрестности, если выбрать ее достаточно малой, сохранял бы определенный знак. Так как при достаточно больших к неминуемо попали бы в эту окрестность, то им не могли бы отвечать «не-прзвильные» элементы

Итак, равенство (13) установлено. В таком случае, при достаточной близости к точке мы имели бы для этих областей сплошь

вопреки предположению (12). Полученное противоречие и доказывает наше утверждение, связанное с неравенством (11).

Пусть теперь диаметры элементов, на которые разложена поверхность все будут меньше Тогда для «неправильных» элементов (если они вообще имеются) выполняется неравенство (11), и соответствующая им сумма будет по абсолютной величине меньше, чем если через М обозначить верхнюю границу для Отсюда и следует (7).