566. Приложение к физическим задачам.

Вернемся в свете изложенной теории к некоторым ранее рассмотренным задачам из области механики и физики.

1) Работа силового поля. В п° 554 мы видели, что работа силового поля при перемещении материальной точки с массой 1 вдоль по траектории (К) выражается криволинейным интегралом [см. 554 (18)]:

где суть проекции напряжения поля на координатные оси.

Весьма естественно заняться выяснением условий, при которых работа сил поля зависит лишь от начального и конечного положений точки, но не от формы траектории. Этот вопрос, очевидно, равносилен вопросу о независимости значения криволинейного интеграла (19) от пути интегрирования. Поэтому искомым условием является равенство

в предположении, конечно, что область, охватываемая полем, односвязна и что особые точки отсутствуют.

То же условие можно выразить и в такой форме: работа сил поля при перемещении материальной точки из одного положения в другое не зависит от формы траектории в том и только в том случае, когда элементарная работа

служит полным дифференциалом от некоторой однозначной функции Эту функцию обычно называют силовой или потенциальной; в случае ее существования само поле получает наименование потенциального.

Работа потенциального поля при перемещении точки из положения в положение равна [см. 557 (6)] просто соответствующему приращению силовой функции:

В качестве примера рассмотрим поле ньютоновского притяжения. Если в начале координат О поместить массу , а в точку А — массу 1, то эта последняя будет притягиваться к центру О с силой F, равной по величине

где есть расстояние точки А от начала. Так как косинусы углов, составляемых этой силой с осями, будут то проекции силы на оси выразятся так:

Непосредственно ясно, что ньютоновское поле является потенциальным, поскольку выражение

служит дифференциалом для функции

которая и играет здесь роль потенциальной функции; ее называют ньютоновским потенциалом (поля точки О). Несмотря на наличие особой точки (начало координат), функция эта однозначна: интеграл от выражения (21) по замкнутому контуру будет нулем, даже если контур охватывает начало («циклическая постоянная» здесь равна нулю!).

При перемещении точки из положения А в положение В силы поля произведут работу

где суть расстояния точек А и В от центра. При удалении точки В в бесконечность работа превратится она будет равна как раз величине ньютоновского потенциала если точка перемещается из бесконечности в положение А.

Примерами не потенциальных полей могут служить поля, образованные силой

направление которой составляет угол с направлением радиуса-вектора

Все сказанное здесь легко переносится и на случай пространственного силового поля.

2) Плоское установившееся течение несжимаемой жидкости. Если через обозначить слагающие по осям вектора-скорости, то, как мы вывели в п° 554, 2), количество жидкости, втекающей в единицу времени через замкнутый контур внутрь, равно

[см. 554 (22)]. В случае несжимаемой жидкости и при отсутствии источников и стоков этот интеграл всегда будет нулем. Отсюда следует, что слагающие и, вектора-скорости необходимо подчинены условию

Тогда подинтегральное выражение имеет первообразную функцию которую в гидромеханике называют функцией тока.

Если взять любую кривую соединяющую точки А и В, то, как известно [554 (22)], количество жидкости, протекающей через нее в единицу времени в определенную сторону, выражается интегралом

причем направление на кривой должно быть таким, чтобы нормаль, направленная в упомянутую сторону, составляла с положительно направленной касательной угол . Теперь мы видим, что эта величина попросту равна разности значений функции тока на концах кривой!

3) Тепло, поглощенное газом. Рассмотрим вновь [554, 3)] вопрос о количестве тепла, полученном данной массой (скажем, 1 молем) идеального газа при изменении его состояния. Если самый процесс изменения состояния газа характеризуется кривой (К) на плоскости V, то, как мы видели в п° 554, 3), упомянутое количество тепла выразится криволинейным интегралом [см. там (23)]:

(мы сохраняем прежние обозначения):

Если, как это делается обычно, считать теплоемкости газа (при постоянном объеме и при постоянном давлении) неизменными, то условие интегрируемости здесь явно нарушено. Действительно, ввиду того что срфсъ, будет

Отсюда следует, что количество тепла не является функцией от состояния газа и зависит от того процесса, который к этому состоянию привел. Даже при циклическом процессе, возвращающем газ в его первоначальное состояние, газ может приобрести (или потерять) некоторое количество тепла.

Если выражение элементарного количества тепла

умножить на , где есть абсолютная температура газа, то придем к выражению

которое явно представляет собой полный дифференциал. Первообразной здесь служит функция

Криволинейный интеграл

уже не зависит от пути интегрирования, соединяющего постоянную точку с переменной точкой (V, р) и лишь постоянной отличается от указанной выше функции Этим интегралом определяется некоторая физическая величина (так называемая энтропия), уже являющаяся функцией состояния газа и играющая важную роль в тепловых расчетах.