680. Тригонометрическое интерполирование.

Можно естественным образом подойти к вопросу о представлении заданной функции тригонометрическим рядом, отправляясь от тригонометрического интерполирования, т. е. приближения к функции с помощью тригонометрического многочлена

значения которого в ряде точек совпадают с соответствующими значениями функции.

Именно, всегда можно подобрать коэффициентов: , тригонометрического многочлена порядка (24) так, чтобы его значения были равны значениям функции наперед указанных точках промежутка например в точках

где Действительно, для определения этих коэффициентов мы имеем столько же линейных уравнений:

Для решения этой системы нам придется вспомнить одно элементарное тригонометрическое тождество

Сложим почленно все равенства (25). Ввиду нечетности синуса коэффициент при

То же можно сказать и о коэффициенте при ибо по четности косинуса

в силу тождества (26), если взять в нем Поэтому

Чтобы определить умножим равенства (25), соответственно, на и снова почленно сложим. Коэффициент при будет нулем ввиду (27); равен, очевидно, нулю и коэффициент при по нечетности синуса. Что же касается коэффициента при то он представится так:

при обе суммы справа ввиду (27) обратятся в нуль, а при первая сумма будет нулем, в то время как вторая получит,

очевидно, значение . Таким образом, лишь коэффициент при оказывается отличным от нуля, именно, равным Теперь уже легко найти

Совершенно аналогично, умножая равенства (25) на и складывая, найдем

Читатель несомненно заметил в примененном приеме сходство с методом Эйлера — Фурье для определения коэффициентов тригонометрического ряда. Однако здесь наши выкладки безупречны, ибо легко проверить, что полученные значения неизвестных действительно удовлетворяют уравнениям (25). Впрочем, это и без проверки ясно из простых алгебраических соображений. Мы видели, что система (25) может иметь, если вообще имеет, лишь единственное решение, которое дается формулами (28), (29), (30), каков бы ни был набор правых частей. Но в таком случае ее определитель необходимо отличен от нуля, и сама система является определенной. Итак, тригонометрический многочлен с найденными значениями коэффициентов удовлетворяет поставленным требованиям и может служить для интерполирования нашей функции в промежутке

Предположим теперь, что заданная функция в этом промежутке интегрируема (на этот раз — в собственном смысле!). Если мы станем увеличивать до бесконечности, то интерполяционный многочлен будет меняться, совпадая с на все более и более «густом» множестве точек. Он не только будет «удлиняться», но и уже вошедшие в игру его коэффициенты будут изменяться. Чтобы лучше разобраться в их поведении, представим себе промежуток разложенным на равных частей с помощью точек деления . Точки являются как раз серединами этих частичных промежутков, а длины последних все равны переписать формулы (28), (29) и (30) в виде

то суммы в правых частях окажутся интегральными суммами, отвечающими именно указанному разбиению промежутка. Теперь ясно, что при

так что предельными значениями коэффициентов интерполяционного тригонометрического многочлена являются соответствующие коэффициенты нашей функции. Можно сказать, что интерполяционный многочлен «в пределе» как бы переходит в ряд Фурье!

Этот процесс, разумеется, тоже может рассматриваться лишь как наведение. Он ничего не доказывает относительно связи между функцией и ее рядом Фурье, но, в свою очередь, достаточно мотивирует интерес именно к этому ряду. В последующих параграфах мы и займемся, наконец, непосредственно изучением поведения ряда Фурье для разных классов функций.