744. Некоторые приложения обобщенного суммирования рядов Фурье.

Мы имеем здесь в виду привести некоторые следствия из теоремы Фейера (хотя для той же цели, иной раз — иеной небольшого усложнения рассуждений, — могла бы служить и теорема Шварца). Первые два из них иллюстрируют то любопытное обстоятельство, что обобщенное суммирование может послужить основанием для утверждений, относящихся к суммированию в собственном смысле!

1. Если ряд Фурье (3) сходится в некоторой точке х, где функция непрерывна или имеет обыкновенный разрыв, то сумма ряда необходимо равна

соответственно.

Действительно, именно такова по теореме Фейера будет «обобщенная сумма» ряда, полученная по методу средних арифметических. Ввиду же регулярности этого метода (420), поскольку ряд имеет сумму в обычном смысле, эта сумма должна совпадать с «обобщенной суммой».

2. Из теоремы Фейера как следствие может быть подучена теорема Дирихле-Жордана о сходимости ряда Фурье для функции с ограниченным изменением

Если есть функция с ограниченным изменением во всем промежутке , то в любой точке х для нее существуют пределы и «обобщенной суммой» ряда Фурье будет другой стороны, известно что для функции с ограниченным изменением коэффициенты Фурье будут порядка а тогда по теореме Харди (422) отсюда следует, что ряд (3) сходится в обычней смысле и притом к той же сумме.

Этим, впрочем, не покрывается еще теорема Дирихле — Жордана, которая в формулировке п° 686 имеет, так сказать» «локальный» характер. Ограниченность, изменения там требуется лишь по отношению к произвольно малой окрестности рассматриваемой точки. Но мы змеем (483), что именно значения, принимаемые функцией в этой окрестности, и определяют поведение ряда Фурье и величину его суммы в данной точке. Поэтому, ничего не меняя по существу, мы могли бы изменить значения функции вне упомянутой окрестности так, чтобы получилась функция с ограниченным изменением во всем промежутке к мой функции уже применимо сказанное выше.

3. Если функция непрерывна в промежутке и к тому же удовлетворяет условию

то она может быть распространена на всю числовую ось, как периодическая (с периодом ) и повсюду непрерывная функция, В таком случае последовательность фейеровских сумм сходится к равномерно для всех х в промежутке . Так как каждая такая сумма есть тригонометрический многочлен, то отсюда очевидным образом получается теорема Вейерштрасса об аппроксимации периодической непрерывной функции [734].

4°. Из теоремы Фейера непосредственно может быть получено утверждение о полноте тригонометрической системы в классе непрерывных функций [ср. 733]. В самом деле, если непрерывная в промежутке функция оказывается ортогональной ко всем функциям тригонометрической системы, так что равны нулю все ее коэффициенты Фурье, то . В то же время, по крайней мере в открытом промежутке при следовательно, внутри промежутка, а по непрерывности — и на концах его.

Присовокупим еще следующие замечания, хотя и не связанные с теоремой Фейера, но относящиеся к фейеровским суммам.

5°. Если функция оказывается ограниченной и при изменении в промежутке содержится между и М, то между теми же границами содержатся и все фейеровские суммы

Это сразу получается из оценки интеграла (13) с учетом (14):

Для частичных сумм ряда Фурье подобное утверждение уже не имеет места: здесь сказывается тот факт, что «ядро Дирихле»

в отличие от «ядра Фейера», меняет знак. По отношению к этим суммам нельзя ручаться даже за существование общих для них всех границ.

Однако если коэффициенты функции будут порядка то и частичные суммы все же оказываются равномерно ограниченными. Именно, если при всех имеем

то можно утверждать, что

Действительно, применяя к настоящему случаю соображения п° 422, получим:

в то время как по доказанному

Отсюда и вытекает требуемое утверждение.

Если, например, рассмотреть разложение [690, 2)]

то здесь Поэтому можно утверждать, что частичные суммы этого ряда по абсолютной величине равномерно ограничены числом [ср. 702].

Из доказанного утверждения можно сделать и более общее заключение: частичные суммы ряда Фурье функции с ограниченным изменением будут все равномерно ограничены [ср. 737]. Это следует из того, что для названной функции коэффициенты Фурье заведомо будут порядка