§ 3. Замена переменных в тройных интегралах
655. Преобразование пространств и криволинейные координаты.
Идеи, развитые в п° 603 в связи с преобразованием плоских областей, естественно переносятся и на случай пространственных областей.
Пусть имеем пространство, отнесенное к системе прямоугольных координат 
и другое пространство с системой координат 
Рассмотрим две замкнутые области (D) и 
в этих пространствах, ограниченные соответственно поверхностями 
и (2), которые мы всегда будем предполагать кусочно-гладкими. Допустим, что эти области связаны между собой взаимно однозначным непрерывным соответствием, которое осуществляется формулами:
При этом, необходимо, точкам поверхности 
отвечают именно точки поверхности 
и наоборот.
Пусть функции (1) имеют в области 
непрерывные частные производные; тогда и якобиан
также является непрерывной функцией в 
. Мы и здесь 
п° 603] будем считать, что этот определитель всегда отличен от нуля, сохраняя определенный знак.
Если в области 
взять кусочно-гладкую поверхность:
(предполагая, что параметры изменяются в некоторой области Е на плоскости 
то формулы (1) преобразуют ее в кусочно-гладкую же поверхность в области 
Эта поверхность будет иметь уравнения
Ограничимся случаем гладкой поверхности (2): на ней особых точек нет, так что определяем:
одновременно в нуль не обращаются. Проверке подлежит лишь отсутствие особых точек и на поверхности (3).
По формуле (6) п° 204 имеем линейные равенства относительно величин (4):
Определитель, составленный из коэффициентов при этих величинах, т. е. из алгебраических дополнений к элементам определителя (2), — по известной теореме алгебры равен квадрату этого последнего и, следовательно, вместе с ним отличен от нуля. Если бы левые части написанных равенств в какой-нибудь точке 
одновременно обратились в нуль, то нулями были бы и все три определителя (5), что противоречило бы допущению.
Числа 
, однозначно характеризующие положение точки в пространстве 
называются криволинейными координатами этой точки. Точки пространства 
для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет существовать три семейства таких координатных поверхностей; через каждую точку области (D) проходит по одной поверхности каждого семейства.
Впрочем, все это будет так лишь в предположении строгой однозначности соответствия между областями (D) и 
. На практике эта однозначность часто нарушается.
Рис. 110.
