616. Замена переменных в несобственных интегралах.

Пусть в плоскостях и имеем, соответственно, ограниченные области и , связанные формулами преобразования:

или обратными им:

с соблюдением всех условий, о которых подробно говорилось в п° 603.

Пусть, далее, в области задана функция непрерывная всюду, за исключением конечного числа отдельных точек или даже кривых, где она обращается в бесконечность.

Покажем, что при этих условиях равенство

имеет место, если только сходится один из этих интегралов; сходимость другого отсюда уже будет вытекать.

Действительно, если особые точки и особые линии первого интеграла в области (D) выделить их окрестностями, то соответствующими

окрестностями в области выделятся особые точки и особые линии второго интеграла. Пусть при этом получатся область (D) на плоскости и область на плоскости Тогда по формуле (21) п° 609

Предполагая непрерывность соответствия между областями (D) и в обе стороны легко видеть, что при «сжимании» окрестностей на плоскости к окруженным ими точкам или линиям такой же процесс будет происходить и с окрестностями на плоскости 1% и обратно. Отсюда ясно, что, переходя в предыдущем соотношении к пределу, из сходимости одного из интегралов мы действительно можем заключить о сходимости другого и вместе с тем о наличии равенства (13).

Можно было бы допустить даже, что в отдельных точках области или вдоль отдельных лежащих в ней линий (не пересекающих ранее рассмотренных в этой области особых линий) обращается в бесконечность якобиан а с ним и подинтегральная функция второго из интегралов. Хотя соответствующие точки и линии на плоскости не являются особыми для первого интеграла, но их выделение, по замечанию предыдущего п°, не создает затруднений, так что и при новых допущениях заключение остается в силе.

Заметим еще, что и в рассматриваемом случае часто приходится сталкиваться с нарушением непрерывности или взаимной однозначности соответствия в отдельных точках или вдоль отдельных линий. В подобных обстоятельствах приложимы соображения п° 606, 4° [ср. конец п° 609].

Наконец, обратимся к случаю, когда хоть одна из областей (D), является неограниченной.

Если обе эти области простираются в бесконечность, причем точки их, находящиеся на конечном расстоянии, связаны соответствием (12) или (12а), то, отделив (соответствующими) кривыми ограниченные части этих областей, мы при соблюдении указанных выше условий будем иметь равенство (14). Так как упомянутые кривые, очевидно, могут удаляться в бесконечность лишь одновременно, то остается лишь перейти в (14) к пределу, чтобы получить (13), причем снова из сходимости одного из интегралов следует сходимость другого.

Пусть теперь, скажем, область (D) простирается в бесконечность, а область нет, и точки области (D) связаны соответствием со всеми точками области , за исключением отдельной точки (или кривой), которая, так сказать, отвечает бесконечно удаленной части

контура области Отделив кривой ограниченную часть области мы соответствующей кривой в области выделим упомянутую точку (или кривую) и тем получим области и , к которым уже приложимы прежние рассуждения, и т. д.

Заметим, что замена переменных наряду с переходом к повторному интегралу является весьма удобным средством для установления существования несобственных двойных интегралов. Многочисленные примеры тому читатель найдет в следующем п°.