719. Случай функции двух переменных.

Формула Фурье может быть распространена и на случай функции нескольких переменных Мы остановимся подробнее на функции двух переменных которук? мы предположим определенной во всей плоскости и к тому же дифференцируемой по каждой из переменных в отдельности.

Пусть, далее, при любом фиксированном функция абсолютно интегрируема по в промежутке и, аналогично, при любом фиксированном она абсолютно интегрируема по в том же промежутке. Применяя при фиксированном к функции от одной переменной уже известную нам формулу Фурье (11), получим:

Аналогично и функция от переменной при фиксированном в свою очередь представляется формулой:

Подставляя, придем к искомой формуле:

Так же, как это было сделано в 715, и здесь можно перейти к формуле, содержащей показательную функцию:

если только интегралы по и по понимать в смысле главного значения.

Если функция оказывается четной как по так и по то все промежутки интегрирования можно свести к промежутку и сохранить лишь косинусы:

В случае нечетности вместо косинусов повсюду здесь надлежит поставить синусы.

Обе формулы имеют место и для функции заданной лишь в первом квадранте так как ее можно продолжить на всю плоскость по желанию четным или нечетным образом (для формулы, содержащей синусы, исключение составляют точки на осях!).

Во всех этих формулах порядок интегрирований должен быть таков, как указано (разве лишь с перестановкой значков 1 и 2). Если удается обосновать перестановку двух промежуточных интегрирований, то формулы приобретают

особенно симметричную форму. Формула (20) в этом случае оказывается эквивалентной двум таким:

функция называется преобразованием Фурье функции

Аналогично этому и формула (21) распадается на две формулы, имеющие на этот раз совершенно одинаковый вид:

Здесь представляет собой косинус-преобразование функции очевидно, и служит косинус-преобразованием для функции Перенести все сказанное на синус-преобразования предоставляем читателю.