§ 2. Разложение функций в ряд Фурье

681. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле.

Пусть будет функция с периодом абсолютно интегрируемая, хотя бы и в несобственном смысле, в промежутке , а следовательно, и в любом конечном промежутке. Вычислим постоянные (ее коэффициенты Фурье):

и по ним составим ряд Фурье нашей функции

Читатель замечает здесь маленькое отступление от обозначений п° 678: коэффициент мы определяем теперь по общей формуле для при в разрез с формулой (7) упомянутого п°, но зато свободный член ряда пишем в виде у.

Заметим здесь же (этим замечанием мы будем пользоваться и в последующем), что для функции имеющей период величина интеграла

по промежутку длины не зависит от а [ср. 314, 10) и 316]. Поэтому и в формулах (1), определяющих коэффициенты Фурье, интегралы могут быть взяты по любому промежутку длины например, можно было бы написать

Для того, чтобы исследовать поведение ряда (2) в какой-нибудь определенной точке составим удобное выражение для его частичной суммы

Подставим вместо их интегральные выражения (1) и подведем постоянные числа под знак интеграла:

Воспользовавшись для преобразования выражения в фигурных скобках формулой (26) п° 680, будем иметь:

и окончательно

Этот важный интеграл носит имя Дирихле (G. Lejeune-Dirichlet).

Так как мы имеем здесь дело с функциями от и периода то промежуток интегрирования по сделанному выше замечанию можно заменить, например, промежутком

Подстановкой преобразуем этот интеграл к виду:

Затем, разбивая интеграл на два: второй интеграл путем изменения знака переменной тоже к промежутку , придем к такому окончательному выражению для частичной суммы ряда Фурье:

Таким образом, дело сводится к исследованию поведения именно этого интеграла, содержащего параметр Своеобразие представляющейся здесь задачи заключается в том, что здесь не может быть использован предельный переход под знаком интеграла, который до сих пор (см. главу XIV) служил нам единственным средством для разыскания предела интеграла, содержащего параметр. И с таким положением вещей нам в этой и в следующей главах придется сталкиваться систематически.