Заметим здесь же (этим замечанием мы будем пользоваться и в последующем), что для функции 
имеющей период 
величина интеграла 
по промежутку длины 
не зависит от а [ср. 314, 10) и 316]. Поэтому и в формулах (1), определяющих коэффициенты Фурье, интегралы могут быть взяты по любому промежутку длины 
например, можно было бы написать
Для того, чтобы исследовать поведение ряда (2) в какой-нибудь определенной точке 
составим удобное выражение для его частичной суммы 
Подставим вместо 
их интегральные выражения (1) и подведем постоянные числа 
под знак интеграла:
Воспользовавшись для преобразования выражения в фигурных скобках формулой (26) п° 680, будем иметь:
и окончательно
Этот важный интеграл носит имя Дирихле (G. Lejeune-Dirichlet).
будет функция с периодом 
абсолютно интегрируемая, хотя бы и в несобственном смысле, в промежутке 
, а следовательно, и в любом конечном промежутке. Вычислим постоянные (ее коэффициенты Фурье):
мы определяем теперь по общей формуле для 
при 
в разрез с формулой (7) упомянутого п°, но зато свободный член ряда пишем в виде у.
то промежуток интегрирования 
по сделанному выше замечанию можно заменить, например, промежутком 
преобразуем этот интеграл к виду:
второй интеграл путем изменения знака переменной тоже к промежутку 
, придем к такому окончательному выражению для 
частичной суммы ряда Фурье:
Своеобразие представляющейся здесь задачи заключается в том, что здесь не может быть использован предельный переход под знаком интеграла, который до сих пор (см. главу XIV) служил нам единственным средством для разыскания предела интеграла, содержащего параметр. И с таким положением вещей нам в этой и в следующей главах придется сталкиваться систематически.
