570. Критерии для функций с ограниченным изменением.

Пусть функция определена в конечном или бесконечном промежутке

6°. Для того чтобы функция имела в промежутке ограниченное изменение, необходимо и достаточно, чтобы для нее в этом промежутке существовала монотонно возрастающая и ограниченная функция такая, что в любой части промежутка приращение функции по абсолютной величине не превосходит соответствующего приращения функции

[Функцию , обладающую этим свойством, естественно было бы назвать мажорантой для функции

Необходимость следует из того, что для функции с ограниченным изменением роль мажоранты может играть, например, функция

монотонно возрастающая и ограниченная в силу 5°. Неравенство

вытекает из самого определения полного изменения функции.

Достаточность для случая конечного промежутка видна сразу из неравенства

а для бесконечного — получается предельным переходом.

Очень важной является другая форма критерия:

7°. Для того чтобы функция имела в промежутке ограниченное изменение, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в этом промежутке в виде разности двух монотонно возрастающих и ограниченных функций:

Необходимость. В силу 6°, для функции с ограниченным изменением существует монотонно возрастающая и ограниченная мажоранта Положим

так что (10) выполнено. Остается убедиться в монотонности функции но при

по самому определению мажоранты.

Достаточность ясна из того, что при наличии равенства (10) функция

служит мажорантой, ибо

В виде упражнения предлагается читателю:

1) опираясь на установленные критерии, наново доказать утверждения 1° — 4° предыдущего п°;

2) для рассмотренных в п° 568 классов функций с ограниченным изменением непосредственно установить наличие монотонной мажоранты и возможность представления в виде разности монотонных функций.

По поводу теоремы 7° сделаем дополнительное замечание. Так как функции и обе ограничены, то путем прибавления к ним одной и той же постоянной всегда можно добиться того, чтобы они обе стали положительными. Точно так же, прибавляя к функциям и какую-либо возрастающую в строгом смысле, но ограниченную функцию (например, придем к такому разложению вида (10), где обе функции будут уже строго возрастающими.

Установленная в 7° возможность сведения функций с ограниченным изменением в некотором смысле к монотонным функциям не должна создавать у читателя иллюзий относительно «простоты» поведения функций с ограниченным изменением: ведь бесконечно колеблющаяся функция t

которая была рассмотрена в п° 568, тоже допускает представление в виде разности двух монотонных функций!

Тем не менее, именно в связи с представлением (10), некоторые свойства монотонных функций переносятся и на функции с ограниченным изменением. Так, если вспомнить, что для монотонной ограниченной функции при любом существуют односторонние пределы, слева и справа,

[71, 1°] то, применяя это свойство к каждой из функций , заключим, что и

8°. Для функции с ограниченным изменением в промежутке в любой точке этого промежутка существуют конечные односторонние пределы (11).