750. Заключительные теоремы о рядах Фурье.

Итак, если для какой-либо функции в промежутке возможно разложение в тригонометрический ряд, то только одним способом. Каков же этот единственный способ? Обязательно ли это будет ряд Фурье функции

Нам известны такие — даже непрерывные — функции, которые не разлагаются в ряд Фурье [703], но до сих пор мы оставляли открытым вопрос, не может ли подобная функция быть разложена в тригонометрический ряд с другими коэффициентами, отличными от коэффициентов Фурье.

Все эти вопросы тем более естественны, что мы, с другой стороны, легко можем построить тригонометрический ряд, повсюду сходящийся (следовательно, однозначно определяющий некоторую функцию) и в то же время заведомо не могущий быть рядом Фурье. Таков, например, ряд

Этот ряд даже равномерно, сходится в любом замкнутом промежутке, не содержащем точек вида и определяет там непрерывную функцию; но и в точках вида он также сходится, очевидно, к нулю. В то же время этот ряд вообще не является рядом Фурье, ибо здесь нарушено необходимое для этого условие, установленное в конце п° 731 [см. там замечание]: ряд расходится! [367,6)].

Поставленные вопросы получают окончательное разрешение в теореме настоящего п° и в ее обобщении, которое мы изложим в следующем п°.

Предпошлем одно замечание, принадлежащее Лебегу (Н. Lebesgue).

Лемма. Ест непрерывная в промежутке функция имеет повсюду внутри этого промежутка обобщенную вторую производную содержащуюся между границами и М:

то и любое отношение вида заключено между теми же границами, в предположении, конечно, что промежуток целиком содержится в

Рассмотрим функцию

которая представляет собой целый многочлен второй степени. Непосредственной проверкой убеждаемся, что он принимает те же значения, что и в трех точках: так что в этих точках разность

обращается в нуль. Функция непрерывна, в промежутке и имеет внутри него обобщенную вторую производную:

(для многочлена обобщенная вторая производная будет попросту равна обыкновенной второй производной). Своих наибольшего и наименьшего значений достигает в двух точках: внутри промежутка Легко показать, что в этих точках имеем соответственно [ср. рассуждение на стр. 615], откуда

чем и доказано высказанное утверждение.

Теперь, наконец, мы в состоянии доказать следующую замечательную теорему:

Теорема дю Буа-Реймонда (P. du Bois Reymond). Если функция ограниченная и интегрируемая (в собственном смысле) в промежутке разлагается в этом промежутке в тригонометрический ряд:

то ряд этот необходимо яаляется ее рядом Фурье.

Из сходимости ряда прежде всего вытекает ограниченность коэффициентов [лемма п° 748]. Введя риманову функцию имеем для выражения разложение в тригонометрический ряд (7):

который (при постоянном ) сходится равномерно относительно х, ибо мажорируется рядом вида . В таком случае [678] коэффициенты этого ряда необходимо являются коэффициентами Фурье для его суммы:

Заметим, что разложение (15) можно считать осуществляющимся и вне промежутка те], если функцию периодически продолжить на всю числовую ось. Следовательно, по первой теореме Римана [747] для всех значений х будем иметь

Ввиду ограниченности функции

по предшествующей лемме, одновременно и

для всех значений

Перейдем теперь к пределу при в равенствах (16), причем в правых частях их, по теореме Арцела [526], это можно сделать под знаком интеграла. Мы получаем, таким образом:

что и требовалось доказать.