§ 2. Формула Гаусса — Остроградского

651. Формула Остроградского.

В теории двойных интегралов мы ознакомились с формулой Грина, связывающей двойной интеграл по плоской области с криволинейным интегралом по контуру области. Ее аналогом в теории тройных интегралов служит формула Остроградского, связывающая тройной интеграл по пространственной области с поверхностным интегралом на границе области.

Рассмотрим тело (V) (рис. 96), ограниченное кусочно-гладкими поверхностями

и цилиндрической поверхностью образующие которой параллельны оси Направляющей здесь служит кусочно-гладкая замкнутая кривая (К) на плоскости ограничивающая область (D) — проекцию тела (V) на эту плоскость.

Допустим, что в области (V) определена некоторая функция непрерывная вместе со своей производной во всей области (V), включая ее границу. Тогда имеет место формула

причем есть поверхность, ограничивающая тело, и интеграл справа распространен на внешнюю ее сторону.

Действительно, по формуле (11 п° 645,

Если ввести в рассмотрение поверхностные интегралы, то, в силу формул (3) и (3 п° 635,

причем первый из интегралов справа распространен на верхнюю

сторону поверхности (5а), а второй — на нижнюю сторону поверхности Равенство не нарушится, если мы прибавим к правой его части интеграл

распространенный на внешнюю сторону поверхности так как этот интеграл равен нулю [636, (5)]. Объединяя все три поверхностных интеграла в один, мы и придем к формуле (1), которая представляет собой частный случай формулы Остроградского.

В приведенном рассуждении читатель, вероятно, уже усмотрел сходство с тем, с помощью которого в п° 638 была выведена формула (14) для объема тела (К): эта последняя получается из формулы (1) при

Как и там, легко понять, что формула (1) верна для более широкого класса тел, которые могут быть разложены на части изученного типа. Можно доказать также, что формула (1) справедлива вообще для тел, ограниченных произвольными кусочно-гладкими поверхностями.

Доказательство проводится в основном так же, как и в п° 638, при расширении условий применимости формулы для объема. К этому добавим только одно замечание. Если рассматриваемое тело (V) представляет собой «призматический брус», ограниченный, скажем, справа поверхностью то изложенное в п° 638 рассуждение переносится на настоящий случай лишь в предположении, что функции R и определены и непрерывны и в некоторой области справа от упомянутой поверхности (ибо вписанная многогранная поверхность может и выйти несколько за пределы рассматриваемого тела). Аналогично формуле (1) имеют место и формулы:

если функции Р и непрерывны в области (V) вместе со своими производными

Сложив все три формулы (1), (2), (3), мы и придем к общей формуле Остроградского:

Она выражает общего вида поверхностный интеграл второго типа, распространенный на внешнюю сторону замкнутой поверхности, через тройной интеграл, взятый по телу, ограниченному этой поверхностью.

Если привлечь к рассмотрению поверхностные интегралы первого типа, то получим другой, весьма употребительный и легко запоминаемый вид формулы Остроградского:

где суть углы, составленные внешней нормалью к поверхности с координатными осями.

Замечание. Формулы Грина, Стокса и Остроградского объединены одной идеей: они выражают интеграл, распространенный на некоторый геометрический образ, через интеграл, взятый по границе этого образа. При этом формула Грина относится к случаю двумерного пространства, формула Стокса — также к случаю двумерного, но «кривого» пространства, а формула Остроградского — к случаю трехмерного пространства.

На основную формулу интегрального исчисления

мы можем смотреть, как на некоторый аналог этих формул для одномерного пространства.