661. Замена переменных в тройных интегралах.

помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.

Пусть между областями (D) и пространств существует соответствие, охарактеризованное в п° 655. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (8), мы покажем теперь, что имеет место следующее равенство:

вполне аналогичное формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию мы предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочногладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве (10) не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство.

Для доказательства поступаем так же, как и в п° 609. Разложив кусочно-гладкими поверхностями области (D) и на (соответствующие друг другу) элементарные части , применим к каждой паре областей формулу (7); мы получим

где есть некоторая точка области не зависящая от нашего выбора. Возьмем соответствующую точку области , т. е. положим

и составим интегральную сумму для первого из интегралов (10):

Подставив сюда вместо выражения (12), а вместо — выражение (10), придем к сумме

которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов (10).

Устремим к нулю диаметры областей вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей . Сумма о должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.

Как и в случае двойных интегралов, формула (10) имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы (8) предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.

Можно пойти дальше в расширении условий применимости формулы (10), допуская и несобственные интегралы. Мы предоставляем читателю перефразировать для рассматриваемого случая изложенное в п° 617. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов (10), существование другого отсюда уже будет вытекать.

В заключение упомянем, что формулы (8) и (10) могли бы быть записаны и без знака абсолютной величины при якобиане. Для того чтобы иметь право на это, следовало бы ввести понятие об ориентированном теле (в связи с ориентированием его границы), затем в зависимости от его ориентации приписывать тот или другой знак его объему и распространенному на тело интегралу. Подробности предоставляем читателю, отсылая его к п° 616 и к замечанию 1° в п° 668.