685. Вторая основная лемма.

Для построения дальнейших признаков мы будем нуждаться еще в одном вспомогательном утверждении, впервые установленном Дирихле:

Если функция монотонно возрастает, оставаясь ограниченной, в промежутке где 0, то

Доказательство. Прежде всего, рассматриваемый интеграл может быть представлен в виде суммы двух интегралов:

Если первый из них с помощью подстановки преобразовать к виду

то сразу ясно, что при он стремится к ибо

Таким образом, весь вопрос сводится к доказательству того, что второй из интегралов (13) стремится к нулю.

По произвольно заданному найдется такое (можно считать что

Разобьем теперь упомянутый только что интеграл на два:

К интегралу применим формулу Бонне [306]; мы получим, что

Но первый множитель , а второй равномерно ограничен при всех значениях . Действительно, из сходимости несобственного интеграла следует, что непрерывная (при функция от z

имеющая при конечный предел, будет ограничена при всех значениях»

так что

Итак, для интеграла имеем независимо от оценку

Что же касается интеграла то при (и фиксированном ) он стремится к нулю по лемме п° 682, так как множитель при

есть интегрируемая в собственном смысле функция (ведь ). Этим и завершается доказательство.