§ 5. Интеграл Стилтьеса

573. Определение интеграла Стилтьеса.

Интеграл Стилтьеса (Th. J. Stieltjes) является непосредственным обобщением обычного определенного интеграла Римана [295]. Определяется он следующим образом.

Пусть в промежутке заданы две ограниченные функции . Разложим точками

промежуток на части и положим Выбрав в каждой из частей по точке вычислим

значение функции и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции

Наконец, составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.

Конечный предел суммы Стилтьеса а при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции по функции и обозначается символом

Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение

Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число I называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число что лишь только промежуток раздроблен на части так, что тотчас же выполняется неравенство

как бы ни выбирать точки в соответствующих промежутках.

При существовании интеграла (3) говорят также, что функция в промежутке интегрируема по функции

Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве функции взята сама независимая переменная х: