667. Поток вектора через поверхность.

Пусть теперь задано некоторое векторное поле А (М), т. е. заданы три функции (3). Возьмем поверхность и, выбрав определенную ее сторону, обозначим через направляющие косинусы соответственно направленной нормали Тогда поверхностный интеграл

который короче можно написать так:

называют потоком вектора А через поверхность в указанную сторону. Обратимся к примерам.

Рис. 116.

1) Самое название «поток связано с некоторой гидромеханической задачей. Рассмотрим движение жидкости в пространстве; в общем случае мы не предполагаем его стационарным, так что скорость движения зависит не только от положения точки М, к которой она относится, но и от времени Поставим себе задачей вычислить количество жидкости, протекающее через поверхность в определенную сторону за бесконечно малый промежуток времени Через элемент поверхности протечет количество жидкости, которое заполнит собой цилиндр с основанием и высотой (рис. 116), где нормаль предполагается направленной именно в выбранную сторону. Если через обозначить плотность жидкости, которая также может зависеть и от положения точки, и от времени, то масса протекшей через жидкости будет

Для всей поверхности получим

Количество же протекшей жидкости отнесенное к единице времени, выразится интегралом

читатель узнает в нем «поток вектора» через поверхность

2) Аналогично можно говорить и о потоке тепла. Легко видеть, что [при обозначениях п° 641, 2)] за время через поверхность протечет количество тепла, равное

Если отнести количество протекшего тепла к единице времени, то получим

т. е. «поток вектора» через поверхность Отсюда и название вектора

— «вектор потока тепла».

Замечание. Так как оба рассмотренных в 1) и 2) процесса мы не предполагали установившимися, то на деле величина сама, вообще говоря, зависит от времени. Она имеет характер скорости и точнее может быть названа скоростью возрастания количества протекшей через жидкости (или протекшего тепла) в рассматриваемый момент времени.

3) Если рассматривается поле ньютоновского притяжения [о котором была речь в 666, 1)]

то поток этого вектора через поверхность

оказывается связанным с телесным углом, под которым поверхность видна из точки О [653].