667. Поток вектора через поверхность.
Пусть теперь задано некоторое векторное поле А (М), т. е. заданы три функции (3). Возьмем поверхность 
и, выбрав определенную ее сторону, обозначим через 
направляющие косинусы соответственно направленной нормали 
Тогда поверхностный интеграл
который короче можно написать так:
называют потоком вектора А через поверхность 
в указанную сторону. Обратимся к примерам.
Рис. 116.
1) Самое название «поток связано с некоторой гидромеханической задачей. Рассмотрим движение жидкости в пространстве; в общем случае мы не предполагаем его стационарным, так что скорость движения 
зависит не только от положения точки М, к которой она относится, но и от времени 
Поставим себе задачей вычислить количество жидкости, протекающее через поверхность 
в определенную сторону за бесконечно малый промежуток времени 
Через элемент 
поверхности протечет количество жидкости, которое заполнит собой цилиндр с основанием 
и высотой 
(рис. 116), где нормаль 
предполагается направленной именно в выбранную сторону. Если через 
обозначить плотность жидкости, которая также может зависеть и от положения точки, и от времени, то масса протекшей через 
жидкости будет
Для всей поверхности 
получим
Количество же протекшей жидкости 
отнесенное к единице времени, выразится интегралом
читатель узнает в нем «поток вектора» 
через поверхность 
2) Аналогично можно говорить и о потоке тепла. Легко видеть, что [при обозначениях п° 641, 2)] за время 
через поверхность 
протечет количество тепла, равное
Если отнести количество протекшего тепла к единице времени, то получим
т. е. «поток вектора» 
через поверхность 
Отсюда и название вектора
— «вектор потока тепла».
Замечание. Так как оба рассмотренных в 1) и 2) процесса мы не предполагали установившимися, то на деле величина 
сама, вообще говоря, зависит от времени. Она имеет характер скорости и точнее может быть названа скоростью возрастания количества протекшей через 
жидкости (или протекшего тепла) в рассматриваемый момент времени.
3) Если рассматривается поле ньютоновского притяжения [о котором была речь в 666, 1)]
то поток этого вектора через поверхность 
оказывается связанным с телесным углом, под которым поверхность 
видна из точки О [653].
