660. Примеры.
1) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
Решение. (а) Тело расположено симметрично относительно плоскостей 
ибо 
входят в уравнение только в квадратах. Далее, поскольку левая часть уравнения всегда положительна, необходимо и 
т. е. все тело лежит вверх от плоскости 
Эти замечания позволяют ограничиться вычислением объема четверти нашего тела, лежащей в первом октанте.
Наличие в уравнении выражения 
подсказывает нам переход к сферическим координатам. Подставляя в уравнение (а) поверхности выражения
придем к уравнению поверхности в сферических координатах:
Так как первый октант характеризуется неравенствами 
то, учитывая значение якобиана 
[656, 2)], будем иметь:
(б) Тело лежит в первом, третьем, шестом и восьмом октантах, для которых, соответственно:
оно состоит из четырех частей, которые попарно симметричны относительно одной из координатных осей (ни левая, ни правая части уравнения не изменяются при одновременном изменении знаков любых двух из величин 
Переходя к сферическим координатам, получим:
(в) Формулы перехода к сферическим координатам здесь проще взять в виде
Тогда уравнение поверхности примет форму 
Ответ. 
2) Найти объем тела, ограниченного поверхностью
(а) Решение. Хотя тип задачи и несколько отличен от предыдущих, но и здесь выгодно применить сферические координаты. Уравнение поверхности примет форму:
(кликните для просмотра скана)
(б) Ответ. 
(в) Ответ. 
4) Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Указание. Эти поверхности определяют промежутки изменения для Сферических координат:
Тело состоит из двух обособленных кусков (в первом и третьем координатных октантах).
Ответ. 
5) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
Решение. Введем новые координаты по формулам:
В этом случае якобиан
так что
6) Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Указание. Положить
Якобиан
Ответ. 
7) Найти объем косоугольного параллелепипеда, ограниченного шестью плоскостями:
предполагая, разумеется, что определитель
отличен от нуля.
Решение. Введем новые переменные
Определитель проще всего найти, заметив, что он равен обратной величине определителя 
Имеем
8) Найти объем тела, ограниченного
(а) цилиндром
и плоскостями
(б) эллипсоидом
(при прежнем предположении, что определитель 
Ответ, 
9) Применение цилиндрических координат к вычислению объема тела приводит к интересной формуле.
Рассмотрим тело (К), ограниченное кусочно-гладкой поверхностью, и предположим, что исходящая из оси z полуплоскость, отвечающая 
пересекает тело по некоторой плоской фигуре 
при изменении 0 от а до 
(рис. 113). Тогда
причем фигуру 
удобно отнести к прямоугольной системе координат 
вращающейся вместе с упомянутой плоскостью вокруг оси 
Рис. 113.
Теперь легко видеть, что двойной интеграл 
представляет статический момент фигуры 
относительно оси 
который равен произведению площади 
этой фигуры на расстояние 
ее центра тяжести С от оси 
Подставляя это выражение для объема, придем к окончательной формуле:
Эта формула была указана П. П. Кусковым. Она особенно удобна для определения объема тел получающихся при винтовом движении плоской фигуры (постоянной или деформирующейся), как-то: винтовых нарезок, пружин и т. 
Если тело (К) есть попросту тело вращения неизменной фигуры 
не пересекающей оси 
вокруг этой оси, то 
и формула принимает вид:
Она выражает известную теорему Г ульдина [351], гласящую, что объем тела вращения плоской фигуры около не пересекающей ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Таким образом, формула Кускова является естественным обобщением этой классической теоремы (и, наоборот, легко может быть из нее получена).
10) Объем трехосного эллипсоида
многократно вычислялся; он равен 
Попробуем, однако, к вычислению этого объема привлечь эллиптические координаты X, к [655, 4)]. Если положить
то сам данный эллипсоид получается при 
Первому октанту эллипсоида отвечает изменение X от 
до а, от 
до 
до 0 до 
Поэтому
Но, как указано, этот объем равен
Таково, следовательно, значение написанного выше сложного интеграла; Найти это значение иным путем представило бы значительные трудности.
В заключение дадим два интересных применения основной формулы (8), позволяющих установить связь понятий площади кривой поверхности и длины кривой с принципиально более простым понятием объема тела.
11) Пусть задана гладкая поверхность 
причем в области (4) изменения параметров и, 
эти функции имеют непрерывные производные второго порядка.
На нормали к поверхности в каждой ее точке М отложим, симметрично в обе стороны от поверхности, отрезок длины 
Эти отрезки заполнят некоторое тело 
в котором содержится и заданная поверхность (рис. 114).
Рис. 114.
Обозначая через 
координаты точки М поверхности, а через 
— координаты любой точки Р на упомянутом отрезке нормали в ней, будем иметь, очевидно,
где А, В, С имеют обычное значение, а 
означает расстояние 
(с соответствующим знаком, так что — 
. Параметры 
служат, таким образом, криволинейными координатами для точек упомянутой области 
. По формуле (8) объем 
этого тела равен
Но
где 
означают некоторые непрерывные функции от а, V. Очевидно, при достаточно малом 
(так как 
это выражение будет иметь знак первого слагаемого, т. е. станет положительным. Поэтому
Отсюда легко вытекает окончательный результат
в последнем интеграле мы узнаем площадь 
кривой поверхности. Таким образом эта площадь может быть получена, исходя из объема.
12) Пусть задана гладкая кривая
причем функции х, у, z имеют и непрерывные вторые производные. В плоскости, нормальной к кривой в любой ее точке М, вообразим себе круг радиуса 
с центром в М. Из всех таких кругов составится некоторое тело 
содержащее кривую.
Не умаляя общности, можно предположить, что на рассматриваемом участке кривой всегда 
Тогда, желая построить в упомянутой плоскости, нормальной к кривой, прямоугольную систему координат, мы можем принять за оси координат две взаимно перпендикулярные нормали с направляющими косинусами
Обозначив соответствующие координаты через и, 
мы можем выразить координаты 
любой точки Р тела 
так:
Здесь 
играют роль криволинейных координат точки Р, так что
Легко видеть, однако, что
, — непрерывные функции от 
Это выражение сохраняет положительный знак при достаточно малом 
как 
Тогда
— постоянные. В первом интеграле узнаем длину 
дуги, второй же 
