§ 4. Характер сходимости рядов Фурье

698. Некоторые дополнения к основным леммам.

Переходя к изучению самого характера сходимости рядов Фурье, мы остановимся сначала на достаточных условиях равномерной сходимости этих рядов.

Для этого нам, прежде всего, необходимо сделать дополнение к первой основной лемме п° 682. Именно, вводя в рассмотренные

там интегралы различные параметры, мы будем интересоваться теперь вопросом о равномерном относительно этих параметров стремления интегралов к нулю.

1°. Пусть функция определена и абсолютно интегрируема в промежутке тогда оба интеграла

при стремятся к нулю равномерно относительно переменных которые принимают произвольные значения в промежутке .

Достаточно рассмотреть первый из интегралов. Ввиду равномерной непрерывности функций

можно разбить по заданному промежуток точками

на столь мелкие части, чтобы было

Для интегралов вида

так как их конечное число можно установить общее такое, что для все они по абсолютной величине уже будут . Но, как легко видеть, интеграл

каковы бы ни были а и разнится (при любом р) меньше, чем на от одного из интегралов (1). Следовательно, при независимо от а и по абсолютной величине будет что и требовалось доказать.

2°. Можно утверждать, далее, что и интегралы

при стремятся к нулю равномерно относительно параметров , подчиненных лишь условиям

Действительно, например, первый из них подстановкой

может быть представлен в виде

так что вопрос приводится к предыдущему случаю (1°).

3°. Наконец, если ввести в подинтегральное выражение еще произвольный множитель с ограниченным изменением в , то и интегралы

при также стремятся к нулю равномерно.

Так как представляется в виде разности двух монотонно возрастающих функций, то достаточно предположить самое возрастающей. В таком случае, по второй теореме о среднем [306]

Ввиду ограниченности функции вопрос и здесь приводится к уже рассмотренному случаю (2°).

Перейдем теперь ко второй основной лемме [п° 685]; ее мы дополним лишь следующим замечанием:

4°. Пусть функция непрерывна и монотонно возрастает в промежутке , содержащем в ну три себя промежуток Тогда интеграл

(где ) при стремится к пределу равномерно относительно х в промежутке

Проследим применительно к данному случаю доказательство, приведенное в п° 685. Первый из интегралов (13), п° 685, который сейчас напишется так:

стремится к пределу равномерно относительно ввиду ограниченности . С другой стороны, равномерная непрерывность функции дает нам возможность по заданному выбрать независимо от изменяющегося в пределах от а до число 8 О так, чтобы было

Разбивая второй из интегралов (13) п° 685, как и там, на сумму имеем оценку (14) независимо не только от р, но и от Наконец, стремится к нулю равномерно относительно в силу 3°. Отсюда в совокупности и вытекает требуемое заключение.