645. Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед.

Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис. 98), проектирующийся на плоскость в прямоугольник

Теорема. Если для функции существует тройной интеграл

и — при каждом постоянном х из — двойной интеграл

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

Доказательство аналогично проведенному в п° 594. Разделив промежутки на части с помощью точек

тем самым разложим параллелепипед (7) на элементарные параллелепипеды

и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники

(где и пробегают те же значения, что и только что).

Положив

имеем в силу 644, 7°,

для всех значений из Фиксируя произвольное значение в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений мы получим неравенства

Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку

Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла (3) и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей Значит, к тому же пределу стремится и интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла (7), так и равенство (8).

Если предположить еще существование простого интеграла

при любых значениях х из и у из то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным [594] и окончательно получим:

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных х, у, z в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.

Предлагаем читателю убедиться самому, что из существования тройного интеграла (5) и простого интеграла (9) вытекает формула:

где . И здесь роли переменных можно переставлять.

В частности, для случая непрерывной функции очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных.