§ 2. Вычисление двойного интеграла

594. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.

С этим вопросом в геометрической трактовке и при некоторых частных предположениях мы уже имели дело в п° 587.

Рассмотрим теперь его средствами анализа и притом в самой общей форме; начнем мы с простого случая, когда область интегрирования представляет собой прямоугольник

Теорема. Если для функции определенной в прямоугольнике существуют двойной интеграл

— при каждом постоянном значении х из — простой интеграл

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

Доказательство. Разобьем промежутки определяющие прямоугольник (Р), на части, вставляя точки деления

Тогда прямоугольник (Р) разложится на частичные прямоугольники (рис. 38)

Рис. 38.

Обозначим через соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы функции в прямоугольнике так что для всех точек этого прямоугольника

Фиксируя х в промежутке по произволу: и интегрируя по у от до будем иметь

где интеграл по у существует, так как предположено существование интеграла (2) по всему промежутку Суммируя подобные неравенства по А от 0 до получим

Если умножить все части этих неравенств на и просуммировать по значку от 0 до то найдем

Посредине мы получили интегральную сумму для функции Что же касается до крайних членов, то они представляют собою не что иное, как суммы Дарбу для двойного интеграла (1). Действительно, так как есть площадь прямоугольника то, например, имеем

Таким образом, окончательно

Если теперь все одновременно устремить к нулю, то ввиду существования двойного интеграла (1), обе суммы и будут стремиться к нему, как к пределу. В таком случае и

т. е. двойной интеграл (1) представляет собой в то же время и интеграл от функции

что и требовалось доказать.

Меняя роли переменных х и у, наряду с (4) можно доказать и формулу

в предположении, что при существует интеграл

Замечание. Если вместе с двойным интегралом (1) существуют оба простых интеграла:

то имеют место одновременно обе формулы (4), (4, откуда

Этот результат мы установили выше [528], не пользуясь предположением о существовании двойного интеграла.

Применение формулы (4) или (4 обусловлено существованием двойного интеграла и одного из простых. Если функция непрерывна (случай, который обычно встречается на практике), то существование всех упомянутых интегралов обеспечено; по отношению к двойному, например, это следует из 590, I. В этом случае любой из упомянутых формул можно пользоваться для фактического вычисления двойного интеграла, так как вычисление простых интегралов представляет гораздо более простую задачу.

При доказательстве формулы (4) всего естественнее было разложить прямоугольник (Р) прямыми, параллельными осям, на прямоугольные элементы с площадями Желая в самом символе двойного интеграла указать на происхождение его от деления области на части прямыми, параллельными осям, вместо часто пишут

Больше того, имея в виду сведёние двойного интеграла, распространенного на прямоугольник к повторному, и самый двойной интеграл часто обозначают символом, сходным с повторным:

При этом обозначении друг другу соответствуют «внешний интеграл» и «внешний дифференциал», так что стоит лишь поставить скобки, чтобы получить тот или другой из повторных интегралов: