556. Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути.

Допустим сначала, что интеграл (1) не зависит от пути.

В этом случае интеграл однозначно определяется заданием точек в связи с чем его обозначают символом

Здесь указаны только начало и конец пути интегрирования; сам путь не указан, но он безразличен — можно интегрировать по любому. Конечно, без сделанного предположения о независимости от пути такое обозначение не имело бы определенного смысла.

Если точку фиксировать, а точку В заменить произвольной точкой области (D), то полученный интеграл представит собой некоторую функцию от точки т. е. от ее координат х, у; в области

Займемся теперь вопросом об ее частных производных как по х, так и по .

Рис. 18.

Взяв произвольную точку в области (D), придадим приращение и перейдем к точке которая при достаточно малом будет также принадлежать (D) вместе со всем отрезком (рис. 15). Соответствующие значения функции будут

Первый из этих интегралов мы возьмем по произвольной кривой (К), соединяющей точки А к В, а для второго интеграла путь интегрирования составим из этой же кривой (К) и из прямолинейного отрезка Таким образом, приращение функции будет

интеграл, содержащий обращается в нуль, так как отрезок перпендикулярен к оси у.

Оставшийся интеграл непосредственно приводится к обыкновенному определенному интегралу: для этого в подинтегральной функции нужно заменить у на уравнения прямой и в качестве пределов интегрирования по х взять абсциссы точек В и С. Окончательно

Применяя к полученному обыкновенному интегралу теорему о среднем и деля обе части равенства на найдем

Устремим теперь к нулю. В силу непрерывности функции правая часть равенства, а с нею и левая, стремится к Следовательно, в точке частная производная функция по х существует и выражается равенством

Аналогично устанавливается и формула

Так как точка была взята произвольно внутри области (D), то для всех точек этой области будем иметь

Поскольку эти частные производные непрерывны, функция имеет дифференциал.

совпадающий с подынтегральным выражением для интеграла (1) [1791

Таким образом, для криволинейного интеграла, не зависящего от пути, нам удалось установить результат, вполне аналогичный теореме о дифференцировании обыкновенного определенного интеграла по переменному верхнему пределу [305, 12°].

Вместе с тем доказана необходимость условия, сформулированного в теореме предыдущего п°. Если интеграл (1) не

зависит от пути, то выражение (2) действительно будет точным дифференциалом: сам интеграл (4) при сделанном предположении и дает нам однозначную первообразную функцию для подинтегрального выражения!