§ 7. Приложения

720. Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию.

Разложение функции в ряд Фурье приводит к удобному аналитическому представлению функции, которое часто оказывается выгодным для вычислительных целей. Изложенный ниже важный пример этого рода мы заимствуем из теоретической астрономии.

Мы уже имели дело с уравнением Кеплера-.

которое связывает эксцентрическую аномалию Е планеты с ее средней аномалией М [83; 452, 2)]. В силу этого уравнения Е является однозначной и дифференцируемой функцией от М, к тому же — нечетной. Увеличение М на влечет явным образом и увеличение Е на Отсюда ясно, что будет периодической функцией от М с периодом и разлагается в ряд по синусам дуг, кратных М:

Остается определить коэффициенты

По формулам (21) п° 689

Внеинтегральный член обратится в нуль, так как при (или также и (или ). Заменяя в последнем интеграле переменную М переменной Е, для которой промежуток изменения будет тот же, и учитывая само уравнение Кеплера, получим далее:

Согласно известной интегральной формуле, выражающей функцию Бесселя,

[см., например, п° 695]. Таким образом,

С другой стороны, легко установить тождество

Поэтому

так что

и, наконец,

Полученное выражение эксцентрической аномалии Е через среднюю аномалию М играет важную роль в небесной механике. Ранее нами уже было найдено разложение величины Е по степеням эксцентриситета с коэффициентами, зависящими от М [452, 2)], Но оно годилось лишь для значений

и, например, не могло быть применяемо для кометных орбит с большим эксцентриситетом; установленная формула свободна от этого недостатка.