626. Существование площади поверхности и ее вычисление.

Покажем, что при сделанных выше предположениях поверхность (1) квадрируема, и установим удобную формулу для вычисления ее площади.

Пусть — какая-либо часть (5), обладающая тем свойством, которое сформулировано в начале предыдущего —

любая ее точка. Перенеся начало координат в эту точку, перейдем к новой системе координат именно, за плоскость возьмем касательную плоскость к поверхности в точке М, а за ось С — соответственную нормаль (рис. 90). Формулы преобразования координат имеют вид:

где означают углы между новыми и старыми координатными осями, в соответствии с таблицей

Так как проектируется на плоскость в некоторую область (Т) взаимно однозначно, а, с другой стороны, точки связаны взаимно однозначным соответствием с точками некоторой части области , то и между точками (Т) и имеет место такое же соответствие. Оно осуществляется первыми двумя из формул преобразования, если под x, y, z разуметь функции (1). Пользуясь выражением площади в криволинейных координатах [605], имеем

Но якобиан

есть определитель, отвечающий произведению матриц

и по известной теореме алгебры равен сумме произведений соответствующих определителей второго порядка

Мы воспользовались здесь тем, что алгебраические дополнения элементов определителя

в точности равны самим элементам. Это следует, например, из того, что каждый из координатных ортов

представляет собой векторное произведение двух других [ср. 664 (2)].

С другой стороны, если через А, В, С обозначить значения определителей А, В, С в точке М, то

(знак берется во всех случаях один и тот же). Поэтому

Справа мы имеем непрерывную функцию четырех независимых переменных в области При она обращается в

И отличается от этого выражения на величину которая ввиду равномерной непрерывности упомянутой функции, лишь только расстояние точек достаточно мало, становится произвольно малой независимо от положения точки Тогда из (2) получается

где бесконечно мало одновременно с диаметром или, если угодно одновременно с диаметром . Применив этот результат к каждой из частей на которые мы разлагаем поверхности мы придем к ряду равенств подобного же типа

здесь есть соответствующая часть области . Суммируем

где величина

очевидно, будет бесконечно малой одновременно с X. Таким образом, для при действительно существует предел

который по определению и есть площадь поверхности.

Если матрицу

«возвести в квадрат» и составить определитель

то по известной теореме алгебры он окажется равным именно Обычно полагают

— это так называемые гауссовы коэффициенты поверхности, играющие важную роль в дифференциальной геометрии. В этих обозначениях

так что формула (3) может быть написана и так:

Выражение

называют элементом площади в криволинейных координатах.

Мы ограничивались до сих пор случаем незамкнутой гладкой поверхности. Если поверхность не подходит под этот случай, но разлагается на конечное число незамкнутых гладких кусков, то ее площадью назовем сумму площадей отдельных кусков. При этом легко показать, что так определенная площадь на деле не зависит от того, как данная поверхность разложена на куски нужного типа. Если вся данная поверхность характеризуется параметрическими уравнениями, то площадь ее в указанном общем случае по-прежнему выражается формулой (3) или (3*).

Остановимся в заключение на том простейшем частном случае, когда поверхность задается явным уравнением

где изменяется в области (D) на плоскости Переменные х и у играют роль параметров миг». Полагая, как обычно,

по матрице

составляем определители так что в рассматриваемом случае

Вспоминая, что для острого угла нормали с осью z будет

можно написать формулу для площади и так:

Наконец, если не требовать специально, чтобы угол был острым, то

[Ср. формулу (7) п° 644 для длины дуги кривой, заданной явным уравнением ]