723. Случай бесконечного стержня.

Решим теперь ту же задачу о распространении тепла для случая стержня, бесконечного в обе стороны, скажем, расположенного вдоль оси х (или для всего пространства, если только во всех точках каждой перпендикулярной к оси х плоскости температура одна и та же). Дифференциальное уравнение остается тем же; начальное условие

на этот раз должно выполняться во всем промежутке , а предельных условий, естественно никаких нет.

Как и в прежних случаях получается частное решение уравнения в виде

но здесь нет оснований из всех положительных значений параметра X выбирать какие-либо.

Поэтому, считая и постоянные а и зависящими от А:

Рис. 140.

естественно для получения общего решения вместо суммы прибегнуть к интегралу:

Для того чтобы это — пока формальное — решение удовлетворяло начальному условию, функции должны быть подобраны так, чтобы для всех х было

Предположим теперь, что функция удовлетворяет условиям приложимости формулы Фурье, которую напишем в виде

Отсюда ясно, что функции а можно определить формулами:

В таком случае решение (18) примет вид:

Если функция абсолютно интегрируема в промежутке то [521, теорема 5] здесь можно переставить интегрирования по А и по

Внутренний интеграл непосредственно вычисляется согласно 6) (а) п° 519; он оказывается равным

Таким образом, окончательно решение задачи представляется в виде простого интеграла:

Дифференцированием по t и по х (дважды) под знаком интеграла легко убедиться, что это — действительно решение.

Рассмотрим еще случай «полубесконечного», т. е. бесконечного в одну сторону стержня, например лежащего вдоль положительной части оси х

(или, если угодно, полупространства Пусть на конце поддерживается температура 0. Для этого случая может быть использовано прежнее решение (19), если только продолжить функцию (здесь заданную лишь для значений х между 0 и ) на отрицательные значения х так, чтобы было

Ввиду четности показательного множителя, очевидно, достаточно продолжить функцию нечетным образом. Тогда решение новой задачи запишет так:

Если потребовать, чтобы при было то, вводя новую неизвестную функцию легко получить:

Отметим частный случай, когда при этом решение примет вид:

Для по этой формуле при различных х и t были вычислены значения и по ним построены графики распределения температуры в стержне в различные моменты времени. Эти графики, изображенные на рис. 141, интересно сопоставить с графиками на рис. 140.