572. Спрямляемые кривые.
Понятие функции с ограниченным изменением находит себе применение в вопросе о спрямляемости кривой линии, в связи с которым названное понятие и было впервые введено Жорданом. Изложением этого вопроса мы хотим заключить настоящий параграф.
Пусть кривая (К) задана параметрическими уравнениями
где функции 
предположены только непрерывными. Допустим при этом, что кривая не имеет кратнцх точек.
Взяв вершины вписанной в кривую ломаной в точках кривой, отвечающих значениям параметра
будем иметь для периметра ломаной выражение
Как мы знаем [247], длина 5 рассматриваемой дуги кривой определяется как точная верхняя граница множества всех периметров 
. Если эта граница конечна, кривая и называется спрямляемой. Достаточные условия спрямляемости мы указали уже в первом томе [278]. Нижеследующая теорема устанавливает самые общие — необходимые и достаточные условия для этого.
Теорема Жордана. Для спрямляемости кривой (17) необходимо и достаточно, чтобы функции 
обе имели ограниченное изменение в промежутке 
.
Необходимость. Если кривая спрямляема и имеет длину 
то при любом подразделении (18) промежутка 
имеем
откуда, в силу очевидного неравенства
следует, что
так что функция 
действительно, имеет ограниченное изменение. Аналогичное заключение применимо и к функции 
Достаточность. Допустим теперь, что обе функции 
имеют ограниченное изменение. Ввиду очевидного неравенства
можно утверждать, что все числа 
ограничены сверху, например, числом
а отсюда по доказанному выше уже вытекает спрямляемость кривой (К).
Присовокупим еще два важных замечания.
Из только что сказанного явствует, что вся длина 
кривой (17) удовлетворяет неравенству
Рассматривая переменную дугу 
отвечающую промежутку 
изменения параметра, применим написанное неравенство к промежутку 
где, скажем, М 0. Тогда
Так как при бесконечно малом 
обе вариации справа [в силу 571 9°], а с ними и 
также бесконечно малы, то мы приходим к заключению: для непрерывной спрямляемой кривой переменная дуга 
является непрерывной функцией параметра.
Так как эта функция монотонно возрастает от 0 до длины 5 всей кривой, то, каково бы ни было натуральное число 
, можно себе представить кривую разделенной на 
частей длины — [теорема Коши, 82]. Если плоскость покрыта сеткой квадратов со стороной 
то каждая из упомянутых частей не может встретить больше четырех таких квадратов. Таким образом, сумма площадей всех квадратов, встречающих нашу кривую, во всяком случае не превосходит 
и может быть сделана сколь угодно малой: кривая имеет площадь нуль.
Отсюда — такое интересное следствие: область, ограниченная спрямляемой кривой (или несколькими такими кривыми), заведомо квадрируема, т. е. имеет площадь [337].
