§ 6. Интеграл Фурье

711. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье.

Мы хотим воспроизвести здесь в существенных чертах те замечательные по их прозрачности, хотя и лишенные строгости, соображения, которые привели Фурье к его интегральной формуле.

Если функция задана в конечном промежутке , то при определенных условиях, которые нас здесь не интересуют, ее можно представить в этом промежутке тригонометрическим рядом:

где

[см. 688]. Подставляя вместо коэффициентов их выражения, можно переписать ряд в виде

Пусть теперь функция будет определена во всем бесконечном промежутке . В этом случае, каково бы ни было х, соответствующее значение выразится разложением (1) при любом Переходя здесь к пределу при попытаемся установить «предельную форму» этого разложения.

Про первый член правой части равенства (1) естественно считать, что он стремится к нулю. Обращаясь же к бесконечному ряду,

мы можем рассматривать множители — под знаком косинуса как дискретные значения

некоей переменной z, непрерывно меняющейся от 0 до при этом приращение

очевидно, стремится к нулю при . В этих обозначениях наш ряд перепишется так:

Он напоминает интегральную сумму для функции

от в промежутке Переходя к пределу при вместо ряда получим интеграл; таким путем и приходим к интегральной формуле Фурье:

Можно представить эту формулу, раскрывая выражение косинуса разности, и в виде

где

Здесь ясно обнаруживается аналогия с тригонометрическим разложением: лишь параметр пробегающий ряд натуральных значений, заменен здесь непрерывно изменяющимся параметром , а бесконечный ряд — интегралом. Коэффициенты также по своей структуре напоминают коэффициенты Фурье.

Конечно, все эти соображения имеют характер лишь наведения; действительные условия справедливости формулы Фурье еще

подлежат выяснению. Но и при проведении строгих рассуждений мы будем следовать основным этапам рассуждений, связанных с рядами Фурье.