§ 6. Интеграл Фурье
711. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье.
Мы хотим воспроизвести здесь в существенных чертах те замечательные по их прозрачности, хотя и лишенные строгости, соображения, которые привели Фурье к его интегральной формуле.
Если функция 
задана в конечном промежутке 
, то при определенных условиях, которые нас здесь не интересуют, ее можно представить в этом промежутке тригонометрическим рядом:
где
[см. 688]. Подставляя вместо коэффициентов 
их выражения, можно переписать ряд в виде
Пусть теперь функция 
будет определена во всем бесконечном промежутке 
. В этом случае, каково бы ни было х, соответствующее значение 
выразится разложением (1) при любом 
Переходя здесь к пределу при 
попытаемся установить «предельную форму» этого разложения.
Про первый член правой части равенства (1) естественно считать, что он стремится к нулю. Обращаясь же к бесконечному ряду,
мы можем рассматривать множители — под знаком косинуса как дискретные значения
некоей переменной z, непрерывно меняющейся от 0 до 
при этом приращение
очевидно, стремится к нулю при 
. В этих обозначениях наш ряд перепишется так:
Он напоминает интегральную сумму для функции
от 
в промежутке 
Переходя к пределу при 
вместо ряда получим интеграл; таким путем и приходим к интегральной формуле Фурье:
Можно представить эту формулу, раскрывая выражение косинуса разности, и в виде
где
Здесь ясно обнаруживается аналогия с тригонометрическим разложением: лишь параметр 
пробегающий ряд натуральных значений, заменен здесь непрерывно изменяющимся параметром 
, а бесконечный ряд — интегралом. Коэффициенты 
также по своей структуре напоминают коэффициенты Фурье.
Конечно, все эти соображения имеют характер лишь наведения; действительные условия справедливости формулы Фурье еще
подлежат выяснению. Но и при проведении строгих рассуждений мы будем следовать основным этапам рассуждений, связанных с рядами Фурье.
