737. Обобщенное уравнение замкнутости.

Пусть даны две функции интегрируемые в промежутке с квадратами. Как известно [483, 6)], тогда функции также будут интегрируемы с квадратами. Если обозначить, соответственно, через коэффициенты Фурье функций то для функций очевидно, коэффициентами Фурье будут

Применив уравнение замкнутости порознь к функциям получим:

и

Если почленно вычесть эти два равенства одно из другого, то, принимая во внимание тождество

придем к обобщенному уравнению замкнутости

Уравнение (20) получается отсюда при Эту общую формулу также называют формулой Парсе валя.

Обобщенное уравнение замкнутости (22) теснейшим образом связано с вопросом о почленном интегрировании рядов Фурье. Подставляя вместо коэффициентов их интегральные выражения:

перепишем равенство (22) в виде

Отсюда ясно, что упомянутое равенство совершенно равносильно утверждению: ряд Фурье функции (интегрируемой с квадратом) по умножении всех его членов на произвольную функцию (также интегрируемую с квадратом) можно в промежутке от до интегрировать почленно (в том смысле, что в результате этого получится интеграл от произведения обеих функций!).

Конечно, промежуток здесь может быть заменен любой его частью ибо это попросту сводится к замене, скажем, функции другой функцией, которая совпадает с в промежутке и равна нулю вне этого промежутка. При мы возвращаемся к тому утверждению, которое было установлено в 731, впрочем, с одним ограничением: функция все же здесь предполагается интегрируемой с квадратом.

Формулу (22) можно доказать и при несимметричных условиях, налагаемых на , облегчая эти условия для одной из функций, но зато отягчая их для другой. Так, Юнгом . была высказана следующая теорема: формула (22) имеет место в предположении, что функция абсолютно интегрируема в промежутке а функция имеет ограниченное изменение.

Доказательство опирается на одно свойство частичных сумм ряда Фурье функции которое будет установлено лишь впоследствии суммыравномерно ограничены, т. е. для

Примем это свойство пока без доказательства.

Не умаляя общности рассуждений, можно предположить, что точки разрыва функции все являются регулярными [658], так что всегда

в таком случае по теореме Дирихле — Жордана [686] будем иметь для всех значений х

и одновременно

Если ограничена:

так что и

то по теореме Арцела [526] заключаем, что

Справедливость этого равенства может быть установлена и для случая неограниченной (но абсолютно интегрируемой) функции Пусть ее единственной особой точкой будет Тогда сначала по заданному возьмем так, чтобы было

вместе с этим будут выполняться и неравенства

(последнее — каково бы ни было ). В промежутке же где функция ограничена, имеем аналогично (23):

Отсюда уже легко получается и само равенство (23).

Доказанное равенство есть лишь другая форма записи для формулы (22), ибо

Обобщенное уравнение замкнутости, установленное при иных условиях, чем раньше, снова может быть перефразировано, как утверждение, относящееся к почленному интегрированию ряда Фурье (и притом в двух различных формулировках в связи с несимметричностью условий, налагаемых здесь на функции . Заметим, что на этот раз предложение п° 731 получается как следствие уже с полной общностью.