688. Случай произвольного промежутка.

Предположим, что функция задана в промежутке произвольной длины Если прибегнуть к подстановке

то получится функция от у в промежутке к которой уже приложимы рассмотрения предыдущего п°. При соблюдении определенных условий, как мы видели, можно разложить ее в ряд Фурье:

коэффициенты которого определяются формулами Эйлера — Фурье:

Вернемся теперь к прежней переменной х, полагая

Тогда мы получим разложение заданной функции в тригонометрический ряд несколько измененного типа:

Здесь косинусы и синусы берутся от углов, кратных не х, а

Можно было бы и формулы для определения коэффициентов этого разложения преобразовать той же подстановкой к виду

В отношении концов промежутка сохраняют силу замечания, сделанные в предыдущем п° относительно точек Конечно, промежуток может быть заменен любым другим промежутком длины 21, в частности, промежутком [0, 2l]. В последнем случае формулы (17) должны быть заменены формулами

При всех оговорках относительно концов промежутка или относительно точек разрыва функции, мы все же установили факт огромного принципиального значения: произвольно заданная в произвольном промежутке функция в очень широком классе случаев оказывается разложимой в тригонометрический ряд, т. е. представляется единым аналитическим выражением — тригонометрическим рядом — во всей области определения функции. В п° 690, в частности, мы найдем большое число примеров такого разложения функций, первоначально заданных в различных частях промежутка различными аналитическими выражениями. Аппарат тригонометрических рядов оказывается универсальным средством для «склеивания» функций, окончательно стирая грань между функциями, допускающими единое аналитическое представление во всей области определения, и функциями, определенными с помощью нескольких аналитических выражений [ср. 46, 3°; 363 5); 407, замечание I; 497, 11) и др.].