§ 5. Несобственные двойные интегралы

612. Интегралы, распространенные на неограниченную область.

Понятие двойного интеграла обобщается на случай неограниченной, т. е. простирающейся в бесконечность области, или на случай неограниченной функции, подобно тому как это сделано в главе тринадцатой по отношению к простым интегралам.

Остановимся сначала на случае неограниченной области (Р). Примером такой области может служить вся плоскость или часть ее, лежащая вне некоторого круга или другой ограниченной плоской

фигуры, какой-либо угол и т. п. Что касается границы этой области, то она предполагается имеющей площадь 0 (например, состоящей из кусочно-гладких кривых) в каждой ограниченной своей части. Пусть в области (Р) задана некоторая функция которую будем предполагать интегрируемой в обычном смысле слова в каждой ограниченной и квадрируемой части области (Р).

Проведя вспомогательную кривую (К) (тоже с площадью 0), отсечем от области (Р) ограниченную и связную ее часть которой интеграл

по предположению существует. Станем теперь удалять кривую (К) всеми ее точками в бесконечность, так, чтобы наименьшее расстояние от начала до точек этой кривой возрастало до бесконечности. Тогда отсекаемая ею переменная область постепенно будет охватывать все точки области (Р): каждая точка из (Р) будет принадлежать (Р) при достаточно большом

Предел (конечный или бесконечный) интеграла (1) при называют (несобственным) интегралом от функции в неограниченной области (Р) и обозначают символом

В случае существования конечного предела интеграл (2) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Функция, для которой интеграл (2) сходится, называется интегрируемой (в несобственном смысле) в области (Р).

В случае положительной функции достаточно, рассмотрев какую-нибудь определенную последовательность удаляющихся в бесконечность кривых

и отсекаемых ими областей

предположить существование конечной границы

чтобы отсюда уже вытекала сходимость интеграла (2;

Действительно, какую бы область ни отделить кривой (К) от (Р), при достаточно большом эта область целиком будет содержаться в так что

и, тем более,

С другой стороны, по заданному можно найти такое чтобы было

При достаточно большом в свою очередь, область (Р) охватит следовательно, и подавно

Неравенства (3) и (4) в совокупности доказывают, что число удовлетворяет определению двойного интеграла.

С помощью этого соображения легко доказывается теорема о сравнении интегралов, аналогичная теореме п° 474. Далее, если сохранить относительно функции прежние предположения, то из сходимости интеграла от распространенного на неограниченную область (Р), вытекает сходимость подобного же интеграла для функции

Для доказательства этого рассмотрим две неотрицательные функции:

очевидно,

Из интегрируемости функции вытекает сходимость интегралов для функций

а следовательно, и для функции

Весьма замечателен тот факт, что и обратно: из сходимости интеграла от функции распространенного на неограниченную

область (Р), вытекает сходимость интеграла и для Этому предложению нет аналога в теории простых несобственных интегралов: мы знаем [475], что там могли существовать и неабсолютно сходящиеся интегралы.

Доказательство мы дадим в следующем п°.