717. Некоторые свойства преобразований Фурье.

Представляет интерес изучение свойств преобразований Фурье функции исходя из тех или иных предположений относительно этой последней.

Прежде всего, если функция абсолютно интегрируема в промежутке то функция

непрерывна во всем этом промежутке и стремится к нулю при

Непрерывность следует из того, что написанный интеграл равномерно сходится при относительно х, ибо мажорируется сходящимся интегралом

не содержащим параметра х. Доказательство копируется с доказательств теорем 1 п° 518 и 2 п° 520 с ссылкой на теорему 1 п° 510 (вместо теоремы 1 п° 506). Что же касается поведения функции на бесконечности, то оно устанавливается на основании заключительного замечания п° 712.

Предположим теперь, что , где — натуральное число, также абсолютно интегрируема в промежутке Тогда функция имеет последовательных производных

которые при все стремятся к нулю.

Последовательно дифференцируя интеграл (19) по параметру х под знаком интеграла, получим:

Этот интеграл сходится равномерно относительно х ввиду наличия мажорирующего интеграла

чем и обосновывается право на применение правил Лейбница. Доказательство копируется с доказательства теоремы 3 п° 520 с ссылкой на теорему 3 п° 510 (вместо теоремы 3 п° 507). Поведение производных на бесконечности и здесь устанавливается с помощью заключительного замечания п° 712.

Итак, дифференциальные свойства функции в основном определяются поведением функции на бесконечности. Наоборот, по дифференциальным свойствам функции можно в некоторой степени судить о поведении функции на бесконечности. Именно: если функция и ее последовательные производные стремятся к нулю при производная абсолютно интегрируема в промежутке то

Это непосредственно следует из выражения для

которое получается последовательным интегрированием частям.