643. Тройной интеграл и условия его существования.

При построении общего определения нового интегрального образования — тройного интеграла, основную роль играет понятие объема тела, наподобие того как понятие площади плоской фигуры лежало в основе определения двойного интеграла.

С понятием объема мы уже знакомы по первому тому и сталкивались с ним не раз. Условие существования объема для данного тела заключается в том, чтобы ограничивающая его поверхность имела объем 0 [341]. Только такие поверхности мы и будем рассматривать, так что существование объемов во всех нужных нам случаях тем самым обеспечивается. В частности, как мы знаем, в состав указанного класса поверхностей входят кусочно-гладкие поверхности.

Пусть теперь в некоторой пространственной области (V) задана функция . Разобьем эту область с помощью сети поверхностей на конечное число частей имеющих соответственно объемы . В пределах элемента возьмем по произволу точку значение функции в этой точке умножим на объем и составим интегральную сумму

Конечный, предел I этой суммы, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех областей и называется тройным интегралом функции в области (V). Он обозначается символом

Конечный предел подобного вида может существовать только для ограниченной функции; для такой функции вводятся, кроме интегральной суммы а, еще суммы Дарбу:

где

Обычным путем устанавливается, что для существования интеграла необходимо и достаточно условие

или

где — есть колебание функции в области [Заметим, что при существовании интеграла обе суммы также имеют его своим пределом.]

Отсюда непосредственно следует, что всякая непрерывная функция интегрируема.

Можно несколько расширить эти условия, а именно: интегрируема всякая ограниченная функция, все разрывы которой лежат на конечном числе поверхностей с объемом 0.

Доказательство этого утверждения [ср. 590] основано на следующей лемме:

Если область (V), содержащая поверхность с объемом 0 разложена на элементарные области, то сумма объемов тех из них, которые задевают поверхность стремится к нулю вместе с диаметрами всех частичных областей.