557. Вычисление криволинейного интеграла через первообразную.

Предположим теперь, обратно, что выражение (2) представляет собой (полный) дифференциал от некоторой однозначной функции так что

Рассмотрим какую-нибудь кусочно-гладкую кривую (К), соединяющую две данные точки: А с координатами и В с координатами Пусть параметрическое представление ее будет

и при изменении параметра от а до кривая описывается в направлении от А к В. Таким образом,

Вычисляя теперь криволинейный интеграл вдоль кривой (К) путем сведения его к обыкновенному интегралу [по формуле (6) п° 547], получим

или, принимая во внимание (5),

— по правилу дифференцирования сложной функции.

Окончательно

Итак, при наличии первообразной функции

криволинейный интеграл вычисляется по простой формуле:

или, короче,

Эта формула вполне аналогична основной формуле интегрального исчисления [308], выражающей обыкновенный определенный интеграл через первообразную. Подчеркнем, однако, еще раз, что она приложима только к таким интегралам, для которых подинтегральное выражение есть точный дифференциал.

Одновременно эта формула показывает, что в рассматриваемом случае интеграл (1) не зависит от выбора кривой чем устанавливается и достаточность условия, указанного в теореме п° 555. Таким образом, эта теорема теперь полностью доказана.