656. Примеры.

1) Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости с обычной декартовой аппликатой (рис. 110).

Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид

Эти формулы отображают область

на все пространство Отметим, однако, что прямая отображается в одну точку ; этим нарушается взаимная однозначность соответствия.

Координатные поверхности в рассматриваемом случае будут:

(а) — цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси направляющими для них служат окружности на плоскости с Центром в начале;

(б) - полуплоскости, проходящие через ось ;

(в) - плоскости, параллельные плоскости

Якобиан преобразования:

Исключая случай якобиан сохраняет положительный знак.

2) Сферические координаты, называемые иначе полярными координатами в пространстве, связаны с декартовыми формулами:

где

Геометрический смысл величин в ясен из рис. есть радиус-вектор соединяющий начало (полюс) с данной точкой — угол, составляемый этим радиусом-вектором с осью (полярной осью); — угол, составляемый с осьюд: проекцией радиуса-вектора на плоскость (перпендикулярную к полярной оси).

Рис. 111.

В этом случае мы снова сталкиваемся с нарушением взаимной однозначности соответствия: плоскость пространства отображается в начало координат прямая отображается в одну точку:

Координатные поверхности составляют три семейства:

(а) — концентрические сферы с. центром в начале координат;

(б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

(в) — полуплоскости, проходящие через ось

Якобиан этого преобразования»

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда либо и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

однозначно обратимо:

Оно, как и в случае плоскости [604, 2)], называется инверсией и имеет наглядно геометрическое истолкование; предоставляем читателю установить его, равно как и найти отвечающие этому преобразованию три семейства координатных поверхностей.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатных плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из (2):

имеет знак минус при знак плюс при снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших X. Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостный гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

найдем:

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей — это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид: