699. Признаки равномерной сходимости рядов Фурье.

Теперь нетрудно уже установить удобные признаки, по которым можно было бы судить о равномерной сходимости ряда Фурье в некотором промежутке к самой функции Эту функцию естественно прежде всего предположить непрерывной в названном промежутке [см. 431]. Сформулируем на первом месте видоизмененный Признак Дини. Ряд функции непрерывной в промежутке сходится к ней равномерно в этом промежутке, если при некотором для всех х из

сходится, и к тому же равномерно, относительно

Напомним, что в этом случае

и

По произвольно заданному в силу сделанного предположения, найдется такое не зависящее от х число 80, что для всех х из

Тогда интеграл (3) представится в виде суммы При этом, очевидно, каково бы ни было

для всех указанных значений х одновременно. Обращаясь к интегралу

мы видим, что интегралы

стремятся при к нулю равномерно относительно в силу пункта 3° предыдущего п°. То же справедливо и для интеграла

ввиду ограниченности функции в промежутке Таким образом, существует такой не зависящий от х номер что для и интеграл (3) по абсолютной величине станет каково бы ни было из Этим все доказано.

Отсюда, в частности, вытекает

Признак Липшица. Ряд Фурье функции сходится к этой функции равномерно в промежутке если в некотором более широком промежутке выполняется условие

где — любые принадлежащие точки, а — положительные постоянные .

Действительно, если за выбрать наименьшее из чисел , то интеграл (2) при всех мажорируется следующим сходящимся интегралом:

Очевидно условие Липшица (при выполняется, а следовательно, равномерная сходимость к функции осуществляется в промежутке если в более широком промежутке функция имеет ограниченную производную

Впрочем, это условие содержится как частный случай и в следующем:

Признак Дирихле — Жордана. Ряд Фурье функции сходится к этой функции равномерно в промежутке если в некотором более широком промежутке функция непрерывна и имеет ограниченное изменение.

Следуя рассуждениям в п° 686, представим интеграл

в виде суммы интегралов: выбирая положительное число меньшим и независимо от значений Относительно второго из этих интегралов сразу ясно, что он при стремится к 0 равномерно относительно в силу 3°. Из первого же интеграла, полагая

мы прежде всего выделим часть

которая, также в силу 3°, равномерно стремится к нулю. Обратимся, наконец, к интегралу

Так как в промежутке функция представляется в виде разности двух непрерывных возрастающих функций:

то, применяя к каждой из них предложение 4°, убеждаемся, что этот интеграл стремится к пределу равномерно же. Этим и завершается доказательство.

В частности, если функция заданная в промежутке непрерывна в этом промежутке и имеет в нем ограниченное изменение, а также удовлетворяет условию

то ее ряд Фурье во всем промежутке сходится к ней равномерно.

Для доказательства достаточно распространить функцию по закону периодичности, с периодом на всю числовую ось, а тогда за промежуток взять любой, содержащий внутри себя промежуток